Анонiм (Гор Грит) - Спящий бог 018

Например, невозможно сказать, какое первое вещественное число идет после нуля. Никакое самое маленькое число, какое вы можете сочинить, не будет первым. Даже если после запятой написать количество нулей, которые заполнят всю Вселенную (0,0000…..1), между нулем и этой цифрой по-прежнему будет бесконечно много более малых чисел.

Это касается не только нуля, а вообще любой цифры. Невозможно назвать первое вещественное число, идущее после любого другого числа. Счет невозможно начать. Можно только сказать, что между нулем и единицей, или между числом 147 и 148 лежит бесконечно много вещественных чисел. Но так как все они умещаются между двумя натуральными числами, их совокупность называется конечным множеством.

Это вне привычного мира с его логикой, и вне нашего воображения. По логике, после нуля идет какая-то первая величина. Но никакая самая малая величина не может быть первой только в силу того, что всякая величина умозрительно делится пополам, и значит, не первая — не самая маленькая и далее неделимая.

Между нулем и первой после него цифрой видится аналогия между тем, что было до Большого взрыва, и первым мигом существования нашего мира. Как невозможно назвать цифру, которая больше нуля, но меньше всех остальных цифр, так невозможно установить первый миг существования нашей Вселенной.

Парменид в труде «О природе» показал, что нет мостика между бытием и небытием. Нельзя представить, что нуль постепенно превращается в величину. Величина появляется сразу. Но что есть самая первая величина после нуля? Попытайтесь осмыслить это и дать ответ. Если понимаете суть вопроса, то на себе почувствуете дыхание бесконечности.

Даже в теории нельзя зафиксировать момент, когда ничто становится величиной. Тут видна непостижимость бытия. Оно монолитно и эту монолитность невозможно нарушить ни в одном месте. Но при этом оно имеет начало, до которого невозможно добраться.

Между счетным и несчетным множеством нельзя установить соответствия. Из этого следует, что несчетные множества бесконечно больше счетных — одна бесконечность больше другой. Кантор показал, что между бесконечностями есть иерархия — каждое последующее множество бесконечно больше предыдущего. Иерархия бесконечностей уходит бесконечно вниз и вверх. Совокупность бесконечностей — целая Бесконечность.

По Кантору, Бесконечность состоит из бесконечностей двух типов: множества величин и континуум-мощности — множества точек. Бесконечные ряды чисел могут быть равны и не равны друг другу. Континуумы (массивы) точек равны на любом объеме. Любое множество точек и чисел бесконечны, но при этом точек бесконечно больше.

На отрезке столько же точек, сколько на квадрате, построенном из этих отрезков. И это при том, что бесконечное число отрезков образуют квадрат. На кубе, построенном на основании этого квадрата, точек столько же, сколько и на отрезке. Как пишет сам Кантор, он не мог поверить своим расчетам. Но ошибки не было, и результат пришлось признать.

Бесконечность за рамками здравого смысла и законов существования. Допустим, мир состоит из бесконечного количества элементов, и мы их все пронумеровали. Число объектов с четными номерами равно числу объектов с нечетными — тут все нормально. Но как относиться к тому, что пронумерованных четными числами объектов столько же, сколько всех объектов? Часть целого не может быть равна целому. Но она равна, если мы оперируем с бесконечностью. От этого факта возникает интеллектуальный дискомфорт.

Для оперирования бесконечными множествами Кантор придумал трансфинитные числа. Финитные числа — конечные величины. Приставка «транс» означает бесконечные величины. Из этих чисел он строит специальную трансфинитную арифметику.

Основа трансфинитной арифметики — первая буква еврейского алфавита «ℵ» (алеф). Думаю, Кантор не случайно взял именно эту букву. Мистики обозначают ею точку абсолютного знания, с которой видно все и понятно сразу, без объяснений.

Алеф — что-то типа нуля в десятичной системе, только в другом смысле. Обычные числа бесконечно делимы вглубь — ухватывают уходящую вниз бесконечность. Трансфинитные числа вывернуты наоборот, ухватывают уходящую вверх бесконечность.

Смысл трансфинитных чисел — отразить разные уровни бесконечности. Первое такое число называется алеф (ноль) — «ℵ0». Им обозначаются счетные множества, которые можно пронумеровать. Второе число алеф1 «ℵ1» — это 2 ℵ 1(2 в степени «алеф1»), обозначающее первое несчетное множество. Следующее идет число алеф2 — это 3 ℵ 1(3 в степени «алеф1»). И так далее. Последующее трансфинитное число бесконечно больше предыдущего. По Кантору эти числа в совокупности охватывают бесконечность.