Анонiм (Гор Грит) - Спящий бог 018

Неидеальность математики очевидна без специальных знаний хотя бы потому, что она устанавливает ни на нем не основанные запреты (например, на ноль делить нельзя). Ее правила гласят, что каждое число равно самому себе: 5 = 5. И что у каждого числа есть противоположное число. Например, у числа 5 таким числом будет -5. Показатель двух противоположных чисел: при их сложении образуется нуль: 5 + (-5) = 0. Если 0+0=0, значит, нуль является одновременно числом и своей противоположностью. Но как можно быть самим собой и при этом своей противоположностью, т.е. не самим собой?

Математика буксует всеми колесами, когда она касается нуля и бесконечности. Одно из априорных утверждений, т.е. не требующих доказательств: часть меньше целого. Прибавление единицы к любой величине делает эту величину больше, а вычитание — меньше. Все понятно, и с помощью этих истин мы уверенно оперируем в мире величин.

Но стоит оперировать этими истинами с нулем и бесконечностью, как получаются абсурды. Половина нуля равна нулю, а половина бесконечности — целой бесконечности. Сложение, вычитание, умножение и деление дают результаты, не лезущие ни в какие логические ворота. И если от нуля можно было как-то ограничиться, объявив его ничем, то с бесконечностью такой номер не проходит, ибо она есть. Но попытка мыслить ее ведет в тупик. Мысль проваливается в бездну, без конца, края и различий.

Но при всем при этом придется повторить, что математика являлась единственной наукой, которая могла хотя бы поставить перед собой задачу осмыслить бесконечность. Ни у одной другой науки не было возможности даже рот открыть на эту тему.

Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор начинает вплотную заниматься темой бесконечности. Так как единая бесконечность никак не мыслится, он пытается уловить ее природу через понимание ее бесконечных частей. Опирается он на изобретенное Аристотелем различение актуальной и потенциальной бесконечности.

Напомню разницу между ними. Например, все существующие числа — актуальная бесконечность. Если писать натуральные числа — это потенциальная бесконечность — величина, стремящаяся к бесконечности, в любом миг имеющая границу.

Точка является промежуточным состоянием между ничем и величиной. Эвклид ее в «Началах» определил, как «То, что не имеет частей». Она тоже стремится к бесконечности, но в отличие от потенциальной бесконечности не к увеличению, а к уменьшению. И как ряд чисел никогда не дойдет до бесконечности, так точка не дойдет до нуля.

Из цифр и точек состоит бесконечность. Если понятия, из которых состоит целое, мыслятся, значит, есть надежда осмыслить и целое. Цифра и точка мыслятся. Значит, с бесконечностью можно работать. Предполагается, что развитие в этом направлении даст результаты, через которые можно выйти на понимание бесконечности как единого нечто.

Кантор рассуждает: если между элементами одного бесконечного ряда есть взаимное соответствие с элементами другого бесконечного ряда, значит, в двух этих рядах число элементов одинаковое, и эти бесконечности одинаковые. Если соответствия установить невозможно, значит, одна бесконечность меньше или больше другой.

На примере это выглядит так: представьте бесконечный ряд солдат. Параллельно ему стоит второй такой же бесконечный ряд солдат. Если каждый солдат может взять за руку соседа напротив, значит, число солдат в рядах одинаковое. На языке математики это означает, что два множества имеют одинаковую мощность. Если же парности установить не удается, значит, число солдат разное — мощность одного бесконечного ряда больше или меньше другого бесконечного ряда.

Кажется, бесконечный ряд натуральных чисел должен быть в два раза больше ряда четных (или нечетных) чисел. Но это только кажется. Половина бесконечности равна целой бесконечности. Бесконечный ряд натуральных чисел и бесконечный ряд четных (или нечетных) чисел равны — каждое число из одного ряда может взять за руку напротив стоящее число из другого ряда. Или говоря иначе, каждое число в любом ряду можно рассматривать как объект и по порядку пронумеровать: 1 2 3 4…

Кантор делит все ряды чисел на счетные и несчетные множества. Счетные — когда можно посчитать от одной цифры до другой за конечное время. Сколько времени понадобится для счета, мгновение или миллиарды лет — значения не имеет. Главное, что можно начать счет и завершить его.

Несчетное множество — когда счет невозможно начать. Например, между двумя любыми натуральными числами бесконечно много вещественных чисел, то есть чисел, представляющих какую-то величину. И так как дна нет, цифру сколько не дели пополам, до нуля никогда не доделишь, выявить минимальное вещественное число невозможно.