Артър Кларк - Призракът от големите плитчини

Ние все още преоткриваме последиците от тази очевидно проста идея и най-изумителната от тях вече навърши десет години. Тя се нарича множеството на Манделброт (оттук нататък М-множество), чиито превъплъщения скоро ще започнете да откривате навсякъде — в щампите на тъкани, тапети, линолеум, формите на бижута. Боя се, че скоро ще започнат да се появяват и върху екрана на телевизорите ви във всеки втори рекламен клип!

И все пак най-вълнуващата черта на М-множеството е неговата простота. За разлика от почти всичко останало в съвременната математика, всеки ученик може да разбере как се образува. Създаването му не включва нищо по сложно от обикновено събиране и умножение; то дори не налага такива сложни действия като изваждане или — да пази Господ! — деление, да не говорим за по-екзотичните зверове от математическата менажерия.

Малко са хората от цивилизования свят, които не са се сблъсквали с известната формула на Айнщайн E = me 2или които я смятат за безнадеждно сложна за разбиране. Всъщност уравнението, определящо М-множеството съдържа, същия брой членове и прилича много на формулата на Айнщайн. Ето го:

Z = z 2+ v

Изобщо не е ужасяващо, нали? И все пак цялото време на съществуване на вселената не би ни стигнало за изследване на всичките му стойности.

Членовете z и c в уравнението на Манделброт са числа, за разлика от Айнщайновото уравнение, където са физически понятия като маса и енергия. Това са координатите, които определят местоположението на една точка, а уравнението управлява начина, по който тази точка се движи в координатната система.

Много прост аналог на всичко това можем да открием в детските книжки с празни страници, изпъстрени с числа и точки, при съединяването на които по подходящ начин се образуват най-неочаквани скрити картинки. Телевизионното изображение се получава чрез доста по-сложното приложение на същия принцип.

На теория всеки, който умее да събира и умножава, би могъл да начертае М-множеството с молив или писалка на милиметрова хартия. Но както ще видим по-късно, възникват известни практически трудности и по-специално тази, че продължителността на човешкия живот рядко надхвърля сто години. Ето защо множеството задължително се генерира от компютър и обикновено се изобразява на екрана на монитор.

Съществуват два възможни начина за определяне мястото на дадена точка в пространството. По-често срещаният използва познатата координатна система посоките запад, изток, север, юг или изобразяването на милиметрова хартия — x върху хоризонталната ос и y върху вертикалната. Но има още един начин — системата, използвана в радара, позната на мнозина в наши дни благодарение на киното. При нея местоположението на предмета се определя /а/ от разстоянието му спрямо дадена отправна точка, и /б/ от неговата посока на движение. По една случайност това е естествената система, която човек използва автоматично и напълно несъзнателно при всяка игра с топка. Така той преценява разстояния и ъгли, като сам служи за отправна точка.

Опитайте се да си представите монитора на компютъра като екран на радар с една-единствена точка върху него, чиито движения ще проследят М-множеството. Но преди да включим нашия радар, бих искал да опростя още повече уравнението:

Z = z 2

За момент изхвърлих члена с. Сега трябва да дефинирам по-точно двете z.

Малкото z е първоначалното разположение на изображението. Z е окончателното разстояние спрямо отправната точка. Така, ако то е първоначално на разстояние 2 единици) по формулата Z ще бъде 4.

Няма защо да се вълнувате — сега идва една малка, но съществена промяна, която решава всичко:

Двойната стрелка е знак за движение в двете посоки, показваща, че числата се променят взаимно непрекъснато. Този път не спираме при Z = 4; то вече е равно на ново z, което бързо ни дава нова стойност за Z = 16 и т.н. За нула време сме получили серията

256; 65 536; 4 294 967 296

и точката, тръгнала само на две единици от центъра, стремително се приближава към безкрайността с огромни, все повече увеличаващи се стъпки.

Този процес на повторение се нарича „итерация“. Прилича на куче, което гони собствената си опашка, но с тази разлика, че кучето не стига доникъде, докато математическата итерация може да ни заведе до много интересни места, както скоро ще се убедите сами.

Сега вече сме готови да включим нашия радар. Повечето екрани са разграфени на обхвати 10, 20… 100 км от центъра. Ще ни е нужен обхват със стойност 1. Не е нужно да определяме мерните единици, тъй като работим с чисти числа. Все едно е дали ще са сантиметри или светлинни години.