Mikhail Moklyachuk - Convex Optimization

Здесь есть возможность читать онлайн «Mikhail Moklyachuk - Convex Optimization» — ознакомительный отрывок электронной книги совершенно бесплатно, а после прочтения отрывка купить полную версию. В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Жанр: unrecognised, на английском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

Convex Optimization: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Convex Optimization»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

This book provides easy access to the basic principles and methods for solving constrained and unconstrained convex optimization problems. Included are sections that cover: basic methods for solving constrained and unconstrained optimization problems with differentiable objective functions; convex sets and their properties; convex functions and their properties and generalizations; and basic principles of sub-differential calculus and convex programming problems.
provides detailed proofs for most of the results presented in the book and also includes many figures and exercises for a better understanding of the material. Exercises are given at the end of each chapter, with solutions and hints to selected exercises given at the end of the book. Undergraduate and graduate students, researchers in different disciplines, as well as practitioners will all benefit from this accessible approach to convex optimization methods.

Convex Optimization — читать онлайн ознакомительный отрывок

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Convex Optimization», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать
In other words if locmin locmax then there exists a neighborhood o - фото 25

In other words, if картинка 26∈ locmin (locmax), then there exists a neighborhood Convex Optimization - изображение 27of the point Convex Optimization - изображение 28such that

Convex Optimization - изображение 29

in the problem

The theory of extremum problems gives general rules for solving extremum - фото 30

The theory of extremum problems gives general rules for solving extremum problems. The theory of necessary conditions of the extremum is more developed. The necessary conditions of the extremum make it possible to allocate a set of points among which solutions of the problem are situated. Such a set is called a critical set, and the points themselves are called critical points. As a rule, a critical set does not contain many points and a solution of the problem can be found by one or another method.

1.2. Optimization problems with objective functions of one variable

Let f : ℝ → ℝ be a function of one real variable.

DEFINITION 1.1.– A function f is said to be lower semicontinuous (upper semicontinuous) at a point if for every ε > 0, there exists a δ > 0 such that the inequality

holds true for all x DEFINITION 12 Eq - фото 31

holds true for all x ∈ ( картинка 32, картинка 33).

DEFINITION 1.2.– (Equivalent) A function f is said to be lower semicontinuous (upper semicontinuous) at a point Convex Optimization - изображение 34 if for every a ∈ ℝ, Convex Optimization - изображение 35 there exists δ > 0, such that the inequality

Convex Optimization - изображение 36

holds true for all x ∈ ( Convex Optimization - изображение 37, Convex Optimization - изображение 38).

If the function takes values in Convex Optimization - изображение 39, then definitions 1.1 and 1.2 make sense when Convex Optimization - изображение 40. In the case where Convex Optimization - изображение 41, the function f is considered to be lower semicontinuous ( upper semicontinuous ) by agreement.

Here are examples of semicontinuous functions:

1 1) the function y = [x] (integer part of x) is upper semicontinuous at the points of discontinuity;

2 2) the function y = {x} (fractional part of x) is lower semicontinuous at the points of discontinuity;

3 3) the Dirichlet function, which is equal to 0 at rational points and equal to 1 at irrational points, is lower semicontinuous at each rational point and upper semicontinuous at each irrational point;

4 4) if the function has a local minimum (maximum) at the point then it is lower (upper) semicontinuous at the point;

5 5) the function A for x ≠ 0, f(0) = +∞, is lower semicontinuous at the point 0. If we define the function at the point 0 arbitrarily, then it will remain lower semicontinuous.

THEOREM 1.1.– Let f and g be lower semicontinuous functions. Then:

– the function f + g is lower semicontinuous;

– the function αf is lower semicontinuous for α ≥ 0 and it is upper semicontinuous for α ≤ 0;

– the function f · g is lower semicontinuous for f ≥ 0, g ≥ 0;

– the function 1/f is upper semicontinuous if f > 0;

– the function max{f, g}, min{f, g} is lower semicontinuous;

– the functions sup{fi} (inf{fi}) are lower (upper) semicontinuous, if the functions fi are lower (upper) semicontinuous.

THEOREM 1.2.– ( Weierstrass theorem ) A lower (upper) semicontinuous on the interval [ a , b ] function f : ℝ → ℝ is bounded from below (from above) on [ a , b ] and attains the smallest (largest) value.

THEOREM 1.3.– ( Fermat’s theorem ) If картинка 42is a point of local extremum of the differentiable at the point картинка 43function f ( x ), then картинка 44.

Fermat’s theorem gives the first-order necessary condition for existence of a local extremum of the function f ( x ) at point картинка 45. The following theorems give the second-order necessary and sufficient conditions for the extremum.

THEOREM 1.4.– ( Necessary conditions of the second order ) If картинка 46is a point of local minimum (maximum) of the function f ( x ), which has the second-order derivative at the point then the following conditions hold true THEOREM 15 Sufficient conditions - фото 47then the following conditions hold true:

THEOREM 15 Sufficient conditions of the second order If the function f - фото 48

THEOREM 1.5.– ( Sufficient conditions of the second order ) If the function f ( x ) has at a point the secondorder derivative and then is the point of local minimum ma - фото 49the second-order derivative and

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «Convex Optimization»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «Convex Optimization» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «Convex Optimization»

Обсуждение, отзывы о книге «Convex Optimization» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x