Hebert Vázquez - Fundamentos teóricos de la música atonal

DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE LOS SEIS ACORDES GENERADORES EN DÉRIVE

Dado que las alturas fijadas por los seis acordes del ejemplo 32 son las únicas que se utilizan en la pieza (salvo algunos casos aislados de notas fuera de registro que aparecen sobre todo hacia el final de la obra), el universo de Dérive se encontrará representado por el conjunto U ={B2,23,53,A3,14,24,34,44,64,74,94,A4,B4,05,35,45,55,65,85,A5,06,26,46,66,86,57}, que contiene todas las alturas del ejemplo 32, sin duplicaciones.

El universo del ejemplo anterior es susceptible de ser traducido al espacio-c.a. y generar un agregado, ya que contiene una representación de las 12 clases de alturas. De hecho, el agregado es la colección mayor que se puede obtener en el espacio-c.a. Sin embargo, puede ocurrir, tanto en el espacio-a como en el espacio-c.a., que el universo sonoro de una pieza atonal sea menor que el agregado.

EL CONJUNTO UNIVERSAL COMO COLECCIÓN CONTEXTUAL (IGOR STRAVINSKY, QUATRE ÉTUDES, PARA ORQUESTA: I, DANSE, CC. 38-41)

El ejemplo 33 expone un fragmento del primero de los cuatro estudios para orquesta de Stravinsky. El pasaje orquestal del ejemplo integra a todos los instrumentos que participan en la pieza. El estudio se desarrolla en el espacio-a, ya que cada instrumento tiene asignado un conjunto de alturas fijas que se mantiene sin variación a lo largo de toda la pieza. Esto quiere decir que cualquier altura emitida por un instrumento se encontrará también presente, en el mismo instrumento, en el fragmento del ejemplo 33.

Las maderas tienen asignada la función melódica principal en la obra y se mueven paralelamente a distancia de octava(s), como se aprecia en el ejemplo 33. Podemos ignorar las diferencias de octava traduciendo el pasaje al espacio-c.a., lo que nos permite expresar el material melódico de las maderas por medio del conjunto J = {0,7,9,B}. Por su parte, los violines primeros y segundos, reforzados por los cuatro cornos y las violas, presentan un breve motivo melódico de cuatro notas descendentes. Esta melodía secundaria, que a lo largo de la pieza interactúa de manera intermitente con la melodía principal de las maderas, se encuentra representada en el ejemplo por el conjunto de c.a. K = {1,3,4,6}. Un último grupo instrumental, conformado por el piano, el arpa, los timbales, las violas, los chelos y los contrabajos, tiene a su cargo la función del acompañamiento y su contenido de c.a. es expresado por el conjunto L = {0,1,2,3}. Si reunimos en un solo conjunto las c.a. de J, K y L, obtenemos el conjunto universal de la pieza, que es U = {0,1,2,3,4,6,7,9,B}. Por lo tanto, la obra presenta un universo sonoro más pequeño que el agregado, ya que 5, 8, A ∈ U.

Un conjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío o nulo, y se representa con el símbolo Ø.

La cardinalidad de un conjunto X expresa el número de elementos que éste contiene y se indica como “| X |”. Así, diremos que los conjuntos J = {0,7,9,B}, K = {1,3,4,6} y L = {0,1,2,3} del ejemplo 33 tienen, todos, una cardinalidad de 4 (ya que cada uno de ellos cuenta con cuatro elementos), lo que indicaremos como | J | = 4, | K | = 4 y | L | = 4. También tenemos, por ejemplo, que |Ø| = 0, mientras que en el espacio-c.a., | U | = 12.

Si S y Q son dos conjuntos, diremos que S está incluido en Q, o que S es un subconjunto de Q, cuando todo elemento de S sea también elemento de Q. Dicha relación se escribe: S ⊂ Q.

Lo anterior puede ser expresado por medio de la siguiente proposición:

(S ⊂ Q) ≡ (∀ s ∈ S, s ∈ S ⇒s ∈ Q)

En la teoría atonal, la inclusión será siempre estricta, lo que significa que el conjunto incluido será de cardinalidad menor que el que lo incluye. Lo anterior queda expresado en la siguiente proposición:

(S ⊂ Q) ≡ (∀ s ∈ S, s ∈ S ⇒s ∈ Q) ∧ (∃q | q ∈ Q ∧ q ∉ S)

En el caso anterior, S se encuentra literalmente incluido en Q , por lo que dichos conjuntos recibirán el nombre de subconjunto y superconjunto, respectivamente.

Si, por otro lado, S y Q son dos conjuntos, tales que | S | < | Q |, y al menos un elemento de S no es elemento de Q, escribiremos S ⊄ Q , lo que significa que S no está incluido en Q, o lo que es lo mismo, S no es un subconjunto de Q :

(S ⊄ Q) ≡ (∃ s | s ∈ S ∧ s ∉ Q)

Apéndice 1: Conceptos básicos de lógica y teoría de conjuntos, ver punto A1.4.

RELACIÓN DE INCLUSIÓN ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (GEORGINA DERBEZ, FANTASÍA, PARA VIOLÍN Y PIANO: I, PRELUDIO, CC. 1-10)

En el ejemplo 34 se cita el pasaje de la Fantasía para violín y piano de Georgina Derbez, previamente analizado en el ejemplo 30. En esta ocasión, nos concentraremos en algunos aspectos concernientes a la organización de las c.a. en el piano.

Los conjuntos K contienen las c.a. tocadas por el piano a lo largo del pasaje y han sido ordenados cronológicamente por medio de una sucesión numérica ascendente K1, K2, . .., K5. Aquí, la relación de inclusión expresa el proceso acumulativo de K hacia la obtención del agregado, ya que K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ K4 ⊂ K5. No nos debe sorprender el hecho de que la cardinalidad máxima alcanzada por los conjuntos K, que es de 9 en K5, sea menor al agregado: recordemos que la tarea de completarlo ha sido asignada al violín.

Los conjuntos J contienen únicamente las c.a. correspondientes a la mano derecha del pianista (ubicadas en el pentagrama superior de la parte del instrumento); por definición, entonces, tenemos que cada conjunto K incluirá un conjunto J (de hecho, veremos un poco más adelante que puede llegar a incluir a más de uno).

J, al igual que K, es sometido a un proceso acumulativo, expresado por la relación J1 ⊂ J2 ⊂ J3. Existen varias razones para aislar a la mano derecha como objeto de estudio particular. En primer lugar, el comportamiento lineal de las dos manos es contrastante: la mano derecha tiene a su cargo únicamente sonidos simultáneos, que reciben una sola articulación por compás durante los cc. 1 a 3; en el cuarto compás da inicio un pulso isócrono de cuarto, primero sugerido por la articulación de la resonancia bajo la presión silenciosa de las teclas y, a partir del compás 6, ejecutado en forma tradicional. De hecho, es este pulso isócrono el que activa el proceso acumulativo de la mano derecha J1 ⊂ J2 ⊂ J3, que se traduce en acordes cuya densidad creciente va de dos a tres y, finalmente, cuatro notas por ataque, respectivamente. La mano izquierda, en cambio, toca exclusivamente sonidos no simultáneos, de duración variable, que a partir del compás 6 se contraponen rítmicamente al pulso de la mano derecha. En segundo lugar, el proceso acumulativo de la mano derecha se desarrolla en forma independiente al del piano, considerado en su totalidad (véase el desfasamiento de los ciclos J y K en el ejemplo 34): J1 ⊂ ( K1, K2, K3 ); J2 ⊂ ( K3, K4 , K5 ); J3 ⊂ K5. Esto crea una tensión discursiva entre el desarrollo lineal de la mano derecha y el movimiento hacia el agregado del piano. Por último, la conformación interválica de los conjuntos J contrasta con la de los conjuntos K; si éstos se aglutinan cromáticamente en el espacio-a, las alturas (contiguas) de los primeros se encuentran conectadas por el intervalo 20. Esto quiere decir que mientras el piano en su totalidad tiende hacia el agregado, la mano derecha, por su parte, parece dirigir su atención hacia una colección de tonos enteros. Antes de abandonar el fragmento, vale la pena destacar un par de congruencias estructurales. La primera tiene que ver con la manera en que los conjuntos J llevan a cabo su proceso de incorporación de alturas: la díada vertical {75, 95} incorpora primero a la altura 55 (en J2 ), que se encuentra al intervalo -20 de la altura 75, y después incorpora a la altura B5 (en J3 ), que se encuentra al intervalo +20 de la altura 95. Este proceso es una réplica a escala de la forma en la cual el agregado es desplegado por los conjuntos C en el ejemplo 30. Allí, el piano lleva a cabo la incorporación de alturas por medio del intervalo -10 en los cc. 1-7 (conjuntos C1 a C5 ) y después, en los cc. 8- 10 (conjunto C5 ), el violín culmina el proceso con base en el intervalo +10, tomando como punto de partida la nota más alta del piano, la altura 95 (ver ejemplo 31).