Hebert Vázquez - Fundamentos teóricos de la música atonal

Es importante tener presente que no es un conjunto ordenado: X = {3,4,9,A} = {3,4,A,9} = {3,9,4,A} = {3,9,A,4} = {3,A,4,9} = {3,A,9,4} = {4,3,9,A} = {4,3,A,9} = {4,9,3,A} = {4,9,A,3} = {4,A,3,9} = {4,A,9,3} = {9,3,4,A} = {9,3,A,4} = {9,4,3,A} = {9,4,A,3} = {9,A,3,4} = {9,A,4,3} = {A,3,4,9} = {A,3,9,4} = {A,4,3,9} = {A,4,9,3} = {A,9,3,4} = {A,9,4,3}. En otras palabras, los elementos de X pueden ser escritos en cualquier orden sin que la integridad del conjunto se vea afectada. Esta propiedad es inherente a todo conjunto no ordenado.13

También se pueden emplear los conjuntos para representar alturas en el espacio-a. Éstos se conocen como conjuntos de alturas y se utilizan para clasificar grupos de notas de registro fijo, sobre todo acordes. Así, en el ejemplo 28, el acorde ubicado en el primer tiempo de los compases 1 y 2 y en el compás 3 se representaría como Q = {02, 03, 06, 26, 07}. En este caso, tampoco importa el orden en que aparezcan los elementos de Q.

EL CONJUNTO DE ALTURAS COMO REPRESENTACIÓN DE UN ACORDE DE REGISTRO FIJO (ARMANDO LUNA, SONATA PARA PIANO: 1ER MOV., DANZA, CC. 1-3)

Si W es un conjunto y w es uno de los objetos contenidos dentro del conjunto, entonces escribiremos: w ∈ W, lo cual leeremos como “ w es un elemento del conjunto W ”. En caso de que w no se encuentre entre los elementos de W, escribiremos: w ∈ W, lo cual leeremos como “ w no es un elemento del conjunto W ”. En el caso del ejemplo 27, tenemos que las clases de alturas 3, 4, 9, A ∈ X, mientras que la c.a. 5 ∈ X. Siempre se utilizarán letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto.

Es común encontrar en textos de matemática relativos a la teoría de conjuntos, que los términos agregado y conjunto son utilizados como sinónimos.14 En la teoría atonal, sin embargo, se le llama agregado al total cromático ubicado en el espacio-c.a., o sea, al conjunto que contiene las 12 clases de alturas.

El agregado ha jugado un papel muy importante como colección referencial, no sólo dentro de la técnica dodecafónica, sino en la música atonal en general (pre y post-dodecafónica).15 En el caso del ejemplo 29, la disposición de los compases se encuentra determinada por la distribución temporal del agregado, por lo cual se establece una relación de uno o dos agregados por compás.

COMPASES DETERMINADOS POR EL AGREGADO (JUAN TRIGOS, CUARTETO DA DO, PARA CL., SAX., GUIT. Y BONGÓS: DANZA L, CC. 1-8)

En el ejemplo 30, el agregado juega también un papel fundamental en la conformación del discurso musical, aunque de una forma totalmente distinta a la del ejemplo 29, en el cual el agregado se manifiesta desde el primer compás y mantiene su presencia a lo largo del pasaje, mientras que en el ejemplo 30 representa el objetivo de un proceso acumulativo lineal. Dicho de otra forma, en el primer caso la música fluye desde el agregado; en el segundo, hacia el agregado.

EL AGREGADO COMO OBJETIVO DE UN PROCESO LINEAL ACUMULATIVO (GEORGINA DERVEZ, FANTASÍA, PARA VIOLÍN Y PIANO: I. PRELUDIO, CC. 1-10)

Veamos el ejemplo 30 un poco más en detalle. La pieza inicia con el conjunto C1 = {7,8,9}; en el segundo compás C2 incorpora la c.a. 6 y forma la colección {6,7,8,9}; el proceso de acumulación de clases de alturas continúa con— C3 y C4, hasta alcanzar el agregado (al que hemos llamado C5 ) en los cc. 8-9. El lector habrá advertido que todos los conjuntos anteriores son cromáticos. De hecho, el proceso acumulativo es llevado a cabo en el espacio-a dentro de una sola octava, de tal manera que la consolidación del agregado coincida con la saturación cromática de ésta, como se puede apreciar en el ejemplo 31.

DESPLIEGUE TEMPORAL DEL AGREGADO DEL EJEMPLO 30 EN FORMA CROMÁTICA EN EL ESPACIO-A

Esta condensación extrema de las alturas contrasta con la textura del ejemplo 29, en la cual los agregados se distribuyen libremente en el espacio-c.a. y ninguna de las partes instrumentales es cromática.

La distribución del agregado suele estar íntimamente ligada a la instrumentación. Así, en el ejemplo 29 la mitad de las c.a. de cada agregado es destinada invariablemente al clarinete, mientras las seis restantes se reparten entre el saxofón y la guitarra, excepto en el caso del primer agregado, en el cual la instrumentación hace un énfasis particular en la c.a. 0. En lo que respecta al fragmento del ejemplo 30, cada nuevo elemento que se acumula en el camino hacia el agregado expande cromáticamente el registro del piano en forma descendente, hasta alcanzar una extensión máxima de 60 al momento de ser incorporada la c.a. 3, tal como se muestra en el ejemplo 31.

En el compás 8, la entrada del violín propicia un relevo instrumental en lo que se refiere a la asignación de las cinco últimas notas del agregado (cada una de ellas podrá aparecer en el piano sólo después de haber sido escuchada en el violín). En el ejemplo 31, este relevo instrumental va asociado a un cambio de dirección en el despliegue del agregado, que ahora asciende cromáticamente a partir de la altura A5, la cual se encuentra a un intervalo de +10 con respecto a la altura superior del piano, hasta alcanzar la altura 26 (en la partitura la altura 26 aparece dos dieciseisavos antes que la 16: ver el compás 9 del ejemplo 30). Desde la perspectiva de la dinámica, la compositora ha cuidado también que el punto climático del pasaje se localice cerca del lugar en el que es alcanzado el agregado: el piano logra su máxima dinámica al inicio del compás 10, solamente un tiempo después de que el violín completa el agregado, mientras que el clímax dinámico del violín es diferido un tiempo más, para hacerlo coincidir con la nota más aguda del pasaje, la altura 76.

El universo o conjunto universal, al que representaremos con la letra U, no es una colección fija, sino un conjunto que contiene el número total de elementos disponibles dentro de un contexto determinado. Veamos, por ejemplo, el caso de la pieza Dérive, de Boulez, en la que todas las alturas tienen un registro fijo y se distribuyen con base en un sistema de seis acordes, que son empleados como zonas de influencia armónica.