Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Число всевозможных различных размещений с повторениями из n различных элементов по k элементов в каждом находится по формуле

Доказывается эта формула с помощью рекуррентного соотношения

которое устанавливается следующим рассуждением. Если первая буква в слове из k букв фиксирована, то в оставшиеся k − 1 ячеек можно разметить буквы способами. Для каждого из этих способов остается n возможностей для выбора буквы, стоящей на первом месте. В результате мы получим все размещения с повторениями из n по k .

Размещения с повторениями, образованные из n элементов a 1, a 2, ..., а n так, что каждый из этих элементов входит в размещение по крайней мере один раз, называются перестановками с повторениями. Если известно, что элемент a 1входит α 1раз, элемент a 2входит α 2раз, ..., элемент a n входит α n раз, то число всевозможных таких перестановок обозначают и оно может быть найдено по формуле

Два сочетания с повторениями из n элементов по k в каждом считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются по крайней мере одним элементом или какой-нибудь элемент входит в эти соединения различное число раз. Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется по формуле

вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа элементов, из которых образуются сочетания, на k − 1.

Для любого натурального n справедливы разложения

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

21.1.Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).

21.2.Имеется одна перестановка из пяти элементов: а 1, а 2, а 3, а 4, а 5. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а 1, а на втором — элемент, отличный от а 2.

21.3.Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?

21.4.Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?

21.5.Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?

21.6.Вычислите сумму

21.7.Найдите все значения n , при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома ( x + а ) n являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

21.8.Найдите число неподобных между собой членов разложения

(а + b + с + d ) n .

21.9.Найдите коэффициент при х k в разложении

(1 + x + x ² + ... + х n − 1)².

21.10.Для бинома ( 1/ 5 x + 2/ 5) n найдите натуральный показатель n , если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.

21.11.Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении