Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

23.4.Найдите область определения функции

arccos ( x ² − 3 х + 1) + tg 2 х .

23.5.Где расположены точки плоскости, для координат которых выражение

принимает действительные значения ?

23.6.Докажите, что функция у = cos x ² не является периодической.

23.7.Докажите, что если функция

f ( x ) = sin x + cos аx

периодическая, то а — рациональное число.

23.8.Найдите основной период функции

у = cos 3 x / 2− sin x / 3.

24.1. Найдите все значения x, при которых функция

sin x − cos² x − 1

принимает наименьшее значение.

24.2. Найдите наибольшее значение функции

у = sin 2 х sin (2 х − π/ 6).

При каких значениях x оно достигается?

24.3. Найдите наибольшее значение функции

у = sin x cos² x − sin³ x cos x .

24.4. При каких значениях x и у выражение

2 х ² + 2 ху + у ² − 2 х + 2 у + 2

имеет наименьшее значение. Найдите это наименьшее значение.

24.5. Найдите наименьшее значение выражения

у = | х ² − 1| + | х ² − 4| + | x + 2| + | x + 1|.

24.6. Найдите наименьшее значение функции

у = х 7+ a / 7 x , где x > 0, а > 0.

24.7. В круг радиусом R вписывается данный угол α. Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол, чтобы их сумма была наибольшей?

24.8.В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью, равной 2 м², а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?

24.9.Найдите сторону наибольшего из квадратов, внутренние точки которых находятся внутри правильного шестиугольника со стороной а .

24.10.Найдите наибольшее значение дроби если x может принимать любые действительные значения.

24.11.Контейнер для приборов должен быть сконструирован в форме прямоугольного параллелепипеда объемом 7,2 м³, причем площадь полной поверхности контейнера не должна превышать 24 м² при условии, что периметр основания не станет менее 10 м. Найдите размеры такого контейнера.

24.12.Найдите наименьшее значение функции

у = ctg² (α − x ) + ctg² (α + x ), 0 < α < π/ 2.

24.13.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

arcsin³ x + arccos³ x .

24.14.Найдите наименьшее значение функции

у = 2 sin² x − 3 sin 2 x + 10 cos² x .

24.15.Найдите наименьшее значение суммы у + w , если x , у , z , w удовлетворяют системе

1.1.Если через точку D 1касания окружностей провести их общую касательную, то, пересекая продолжения сторон ВА 1и ВС 1, она образует треугольник А 1 ВС 1(рис. I.1.1). Воспользуйтесь тем, что OD = DD 1= R / 2, а O 1 D 1= BD 1 / 3.

1.2.В треугольнике АОВ ( O — центр вписанной окружности, рис. I.1.2) угол ВАО равен α/ 2, а угол ВОА равен сумме углов OAD и ODA , т. е. равен π/ 2 + α/ 2. По условию BO = m , так как BD = r + m . Поэтому решение удобно начать с определения AB из треугольника BOA .

1.3.Вначале нужно выяснить смысл выражения «окружность делит сторону треугольника пополам». Если окружность имеет со стороной треугольника две общие точки, то ни про одну мы не сможем сказать, что она делит отрезок пополам, поскольку отрезок разделится на три части.

1.4.Отношение площади треугольника А 1 В 1 С 1к площади треугольника АВС (рис. I.1.4) можно записать так:

Теперь нужно найти каждое из отношений, входящих в правую часть.