Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

20.1.Докажите неравенство

20.2.В арифметической прогрессии а 1, а 2, ..., а n первый член равен разности прогрессии: а 1= d . Считая число n данным, найдите

20.3.Найдите сумму

20.4.Найдите зависимость между натуральными n и А , если

где а ≠ 0, 1, −1.

20.5.Найдите коэффициент при х n в разложении

(1 + x + 2 х ² + ... + пх n )².

20.6.Решите неравенство

| x − 2 х ² + 4 х ³ − 8 х 4+ ... + (−2) n − 1 х n + ...| < 1.

20.7.Найдите сумму

S n = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n !.

20.8.Найдите сумму

S n = x + 4 х ³ + 7 х 5+ 10 х 7+ ... + (3 n − 2) х 2 n − 1.

20.9.Найдите сумму

S n 4 = 1 4+ 2 4+ 3 4+ ... + n 4,

считая известными формулы для S n , S n ², S n ³ (см. с. 103).

20.10.Натуральные числа разбиты на группы

(1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17), ...

Найдите сумму чисел в n -й группе.

20.11.Вычислите выражение

20.12.Найдите сумму

1 + 2 · 2 + 3 · 2² + ... + 100 · 2 99.

20.13.Найдите сумму ряда

Эта глава содержит задачи по комбинаторике, а также задачи, связанные с возведением в степень двучлена ax + b . Выражение ( ax + b ) называют биномом Ньютона и рассматривают, как правило, его разложение в ряд по степеням x и коэффициенты этого разложения — они зависят от а и b — при различных степенях x .

Комбинаторика изучает всевозможные комбинации из элементов данного конечного множества. Простейшие из таких комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки состоят из одних и тех же элементов некоторого множества и отличаются одна от другой только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из n различных элементов, обозначают P ( n ):

P ( n ) = 1 · 2 · 3 · ... · n = n ! (1)

Символ n ! (читается «эн факториал») обозначает произведение первых n чисел натурального ряда: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ... . По определению 0! = 1.

Следующий вид комбинаций — размещения из n различных элементов, образующих множество, в группы по k различных элементов в каждой. При этом два размещения считают разными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их расположения. Подобные ситуации возникают при размещении постояльцев в гостинице, зрителей в театральном зале, пассажиров в поезде. Число всех возможных размещений по k различных элементов в каждом размещении, формируемых из n различных элементов данного множества, обозначают А n k . Имеет место формула:

Сочетания из n элементов по k элементов — комбинации, составленные из данных n элементов и содержащие по k ( k ≤ n ) элементов в каждой, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом. С — число сочетаний из n по k :

Наряду с соединениями, в которые каждый из n различных элементов некоторого фиксированного множества входит один раз, можно рассматривать соединения с повторениями, допускающие появление одного и того же элемента более одного раза.

Если задан алфавит из n различных букв и поставлена задача составить всевозможные слова по k букв в каждом, то речь идет о размещениях с повторениями. Обратите внимание на то обстоятельство, что слова могут быть любой длины, а потому нет необходимости в выполнении ограничения k ≤ n . Слова aba и baa считаются различными (входящие в них элементы образуют разные последовательности).