Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

18.8.У продавца мороженого есть по нескольку десятков порций мороженого пяти сортов — за 7, 9, 11, 13 и 15 p. Общее число порций равно 180, а общая стоимость — 1840 p. Порций мороженого по 7 и 9 p. вместе столько же, сколько по 11, 13 и 15 p. вместе. Кроме того, известно, что порций по 9 p. вдвое больше, чем по 15 p., и больше, чем по 13 p. Определите число порций каждого сорта.

18.9.Плоты шли из пункта A до устья реки вниз по течению. У устья реки их взял на буксир пароход и через 11,5 суток после выхода плотов из пункта A доставил их по озеру в пункт B . Сколько времени пароход вел плоты от устья реки по озеру до B , если известно, что пароход совершает рейс (без буксировки) от A до B за 40 ч и от B до A за 48 ч, а скорость во время буксировки уменьшается вдвое.

18.10.Три пловца должны проплыть из A в B и обратно. Сначала стартует первый, через 5 с — второй, еще через 5 с — третий. Некоторую точку C , находящуюся между пунктами A и B , все пловцы миновали одновременно (до этого времени ни один из них в B не побывал). Третий пловец, доплыв до B и повернув назад, встречает второго в 9 м от B , а первого — в 15 м от B . Найдите скорость третьего пловца, если расстояние AB равно 55 м.

18.11.Сосуд, содержащий p %−й раствор кислоты, долили доверху q %−м раствором кислоты и после перемешивания отлили то же количество. Проделав эту операцию k раз, получили r %−й раствор. Какую часть объема сосуда занимал первоначальный раствор [13] Плотности всех растворов предполагаются одинаковыми; при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов. ?

18.12.Из пункта A в пункт B выехал автомобиль. Одновременно из B навстречу ему выехал мотоцикл. Через некоторое время они встретились. В момент их встречи из B в A выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени встретился с автомобилем. Расстояние между пунктами первой и второй встреч равно 2/ 9 AB . Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то автомобиль встретился бы с первым мотоциклом через 3 ч после их выезда и расстояние между пунктами встреч было бы равно 60 км. Найдите AB , если скорости обоих мотоциклов одинаковы.

18.13.Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил догнать его на такси, однако через некоторое время пересел на автобус, заплатив за билет А p., и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем он обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы поезд на τ ч раньше, истратив при этом на В p. меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси v 1км/ч, автобуса v 2км/ч ( v 1> v 2), а стоимость проезда 1 км на такси а p.?

18.14.Товарный поезд, шедший из А в В , прибыл в С одновременно с пассажирским, шедшим из В в А со скоростью в m раз большей, чем скорость товарного поезда. Оба состава простояли t ч в пункте С , затем продолжили путь, причем каждый увеличил скорость на 25%. Товарный поезд прибыл в В на t 1ч позже, а пассажирский в А на t 2ч позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный поезд вышел из А , чем пассажирский из В ?

18.15.Расстояние между пунктами А и В равно s км. Из пункта А в пункт В вылетел вертолет, а через t ч в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал вертолет в d км от А , долетел до В и сразу повернул обратно. В d км от В самолет встретил вертолет и вернулся в А позднее, чем вертолет прибыл в В . Насколько раньше вертолет прибыл в В , чем самолет вернулся в А ?

18.16.В озеро впадают две реки. Пароход выходит из порта M на первой реке и плывет вниз по течению, затем через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй реке вверх по течению до порта N . Придя в N , пароход отправляется в обратный путь.

Известна собственная скорость парохода v и скорости течения рек: v 1и v 2. На путь от M до N , равный по длине s , и на обратный путь пароход тратит одинаковое время t . Какое расстояние пароход проходит по озеру?

18.17.Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд. В этот же момент из В в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость курьерского в два раза больше скорости пассажирского. Скорый поезд прибывает в В в 13 ч 50 мин того же дня, а встречает курьерский поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Когда пассажирский поезд прибудет в пункт А , если между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа?