Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Разберем в качестве примера следующую задачу.

Пример 1.Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое

время к нему присоединился второй. Когда 1/ 6работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.

Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда 1/ 6работы (обратите внимание: 1/ 6всей работы, а не 45 или 27 деталей) была уже выполнена.

Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими словами, они изготовляют разное число деталей за одно и то же время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность каждого из них. Однако через x , у и z мы обозначим не число деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них выполняет за это время.

После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем в рассмотрение еще три неизвестные: t 1, t 2, t 3— время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим рабочими. Так как каждый из них сделал за это время треть всей работы, то

t 1 x = t 2 у = t 3 z = ⅓. (1)

Мы получили три уравнения (их можно было написать в виде t 1 x = ⅓, t 2 у = ⅓, t 3 z = ⅓. K ним нередко добавляют четвертое:

t 1 x + t 2 у + t 2 z = 1,

которое должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой самостоятельной информации: оно является следствием первых трех и получается в результате их сложения. Поэтому последнее уравнение, хотя и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.

Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу за 1/ x + y ч, а третьему на это потребуется 1/ z ч, то еще одно условие задачи можно записать так:

1/ x + y + 9 = 1/ z . (2)

Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий рабочий приступил к работе, когда ее 1/ 6была выполнена. Другими словами, когда первый проработал t 1− t 3ч, а второй t 2− t 3ч, они сделали 1/ 6всей работы:

x ( t 1− t 3) + у ( t 2− t 3) = 1/ 6. (3)

Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:

t 2− t 3= 2, (4)

мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.

Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.

В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t 2, которое нас не интересует. Однако после замены t 2− t 3на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно t 1 x и t 2 у , что затруднит использование уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и вспомнить, что xt 1= ⅓ и уt 2= ⅓, то получим уравнение

t 3( x + у ) = ½.

С его помощью можно выразить x + у через t 3, а из уравнения zt 3= ⅓ можно выразить через t 3и неизвестное z . Подставляя эти выражения в (2), получим

2 t 3+ 9 = 3 t 3,

откуда

t 3= 9.

Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим последовательно: t 2= 11, z = 1/ 27, у = 1/ 33. Из уравнения (2) определяем x = 5/ 198и t 1= 1/ 3 x = 66/ 5. Итак, первый рабочий работал 13 ч 12 мин.