Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Системы тригонометрических уравнений.Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = 3π/ 2, у = π/ 4(ни при каком целом n из выражения π/ 4+ 3 n π/ 2нельзя получить 3π/ 4).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x − у , мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n .

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = π/ 4+ (2 т + n ), у = − π/ 4− π/ 2(2 т − n ).

Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1.1 + sin 2 x + 2√2 cos 3 x sin ( x + π/ 4) = 2 sin x + 2 cos 3 x + cos 2 x .

13.2. .

13.3. .

13.4.tg 2 x tg 7 x = 1.

13.5.

13.6.2 tg 3 x − 3 tg 2 x = tg² 2 x tg 3 x .

13.7.sin³ x + cos³ x + 1/ √2sin 2 x sin ( x + π/ 4) = cos x + sin 3 x .

13.8.4 tg 4 x − 4 tg 3 x − tg 2 x = tg 2 x tg 3 x tg 4 x .

13.9.Найдите решения уравнения

лежащие в интервале (0, 2π).

13.10.Решите уравнение

sin ( x − α) = sin x − sin α.

13.11.Найдите решения уравнения

|cos 2 x | = |sin² x − а |

( а — действительное число), удовлетворяющие неравенству

0 ≤ x ≤ 2π.

Решите уравнения:

13.12.

13.13.(tg x + sin x ) ½+ (tg x − sin x ) ½= 2 tg ½ x cos x .

13.14.ctg 2 x + 3 tg 3 x = 2 tg x + 2/ sin 4 x .

13.15.sec x ² + cosec x ² + sec x ² cosec x ² = 1.

13.16.

13.17.4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x .

13.18.cos x = cos² 3 x / 4.

13.19.sin 4 x [2 + ctg x + ctg ( π/ 4− x ) = 2√2(1 + sin 2 x + cos 2 x ).

13.20.sin 4 x sin x − sin 3 x sin 2 x = ½ cos 3 x + (1 + cos x ) ½.

13.21.sin 4 x = m tg x , где m > 0.

13.22.sin x / 2(sin x + sin 2 x + ... + sin 100 x ) = ½ sin 101 x / 2.

13.23.sin² x + sin 2 x sin 4 x + ... + sin nx sin n ² x = 1.

13.24.4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1.

13.25.

13.26.sin³ x + cos³ x = 1.

13.27.cos² 3 x + ¼ cos² x = cos 3 x cos 4 x .

13.28.При каких значениях а уравнение

1 + sin² ax = cos x

имеет единственное решение?

Решите системы:

13.29.

13.30.

13.31.

13.32.

13.33.

13.34.

13.35.

13.36.