Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin π/ 4 cos x − cos π/ 4sin x нужно узнавать sin ( π/ 4− x ), а не принимать ошибочно за sin ( x − π/ 4), а в записи узнавать ctg x / 2.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x . То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение

12.2. Докажите тождество

tg 2α tg (30° − α) + tg 2α tg (60° − α) + tg (60° − α) tg (30° − α) = 1.

12.3. Докажите тождество

12.4. Докажите, что tg (α + β) = 2 tg α, если

sin α cos (α + β) = sin β и α + β ≠ π/ 2(2 n + 1), α ≠ π/ 2(2 n + 1), .

12.5. Вычислите без таблиц

cos π/ 7cos 2π/ 7cos 4π/ 7.

12.6. Вычислите без таблиц

tg π/ 7tg 2π/ 7tg 3π/ 7.

12.7. Докажите, что если и то при аВ + bA ≠ 0

12.8. Докажите, что если |sin x | = | k sin у |, где −1 ≤ k ≤ 1, то произведение sin ( x + у ) sin ( x − у ) неположительно.

12.9. Докажите, что если sin α + sin β = а , cos α + cos β = b , то

12.10. Дано

2 tg² α tg² β tg² γ + tg² α tg² β + tg² β tg² γ + tg² γ tg² α = 1.

Вычислите sin² α + sin² β + sin² γ.

12.11. Углы α, β, γ образуют арифметическую прогрессию с разностью π/ 3. Вычислите

А = tg α tg β + tg β tg γ + tg α tg γ.

12.12. Сумма трех положительных чисел α, β и γ равна π/ 2. Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а , x = n π + (−1) n arcsin а , | а | ≤ 1,

cos x = а , x = 2 n π ± arccos а , | а | ≤ 1,

tg x = а , x = n π + arctg а ,

ctg x = а , x = n π + arcctg а .

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2 n π + αrсsin а , x = π(2 n + 1) − arcsin а .

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = n π + (−1) n π/ 2.

При n = 2 k получим x = 2 k π + π/ 2, а при n = 2 k + 1 получим x = 2 k π + π − π/ 2= 2 k π + π/ 2. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.