Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.

14. lg xy = lg | x | + lg | y |,

15. lg x ² = 2 lg x ,

16. lg x ² = 2 lg | x |.

Уравнение, корни уравнения, равносильность.Когда мы говорим, что равенство

аx ² + bx + с = 0 (1)

является уравнением относительно буквы x , то подразумеваем, что для фиксированных а , b и с (эти буквы являются параметрами уравнения) нужно отыскать значения x , обращающие (1) в истинное числовое равенство.

Другими словами, предполагают, что для букв а , b и с выбраны определенные, хотя и произвольные, значения, в то время как буква x , которой обозначено неизвестное , остается «свободной». Вместо нее можно подставлять различные числа, в результате чего возникнут либо истинные, либо ложные числовые равенства. Равенство (1) выполняет роль «формы» (или «схемы») уравнений, которая превращается в уравнение, как только мы остановим свой выбор на конкретных значениях параметров. Если выбор значений параметров уже сделан, то полученное уравнение можно рассматривать как «форму» числовых равенств — ложных или истинных.

Часто представляют себе уравнение как равенство двух функций (в частности, как равенство функции нулю), а не как форму. Такое представление недостаточно точно, так как может привести к потере корней.

Например, уравнение

x 2 x = 1 (2)

имеет корни x 1= 1 и x 2= −1, в то время как функция x 2 x определена только при положительных x .

Если же уравнение (2) мы рассматриваем как форму, порождающую числовые равенства, то при x = −1 слева получим выражение (−1) −2, которое имеет смысл и равно 1.

Итак, уравнением относительно неизвестного x называется форма числовых равенств, которая превращается в истинное или ложное числовое равенство при подстановке вместо буквы x какого-нибудь числа, взятого из рассматриваемой области чисел. Приведем еще несколько определений.

Пусть x , у , z , ... — неизвестные в уравнении

f ( x , у , z , ...) = 0. (3)

Набор значений неизвестных [3] Для краткости равенства можно располагать в строку или писать ( x , y , z , ...) = ( а , b , с , ...).

называется решением уравнения (3), если

f ( а , b , с , ...) = 0 (3′)

является истинным числовым равенством.

Решение уравнения с одним неизвестным называют также корнем этого уравнения.

Корнем уравнения 3 x ² + 2 x − 1 = 0 является число x = −1, решением уравнения 2 у ² − 3 xу + x ² = 0 является система чисел

Решить уравнение — значит, найти все его решения или доказать, что оно не имеет решений.

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Другими словами, любое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и, обратно, любое решение второго уравнения является также решением первого уравнения.

Вообще говоря, понятие равносильности тесно связано с определенной областью чисел. Так, уравнения x − 1 = 0 и ( x − 1)( x ² − 3) = 0 равносильны в области целых чисел и неравносильны в области действительных чисел.

Говорят, что второе уравнение является следствием первого, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.

В процессе решения уравнение можно заменить любым равносильным ему уравнением. Легко убедиться в том, что замена входящего в уравнение математического выражения тождественным [4] Имеется в виду применение абсолютного тождества, см. с. 42. Для неабсолютных тождеств это утверждение неверно. приводит к равносильному уравнению.

Во многих случаях удобно заменить данное уравнение его следствием. В результате такой замены могут появиться посторонние корни, т. е. такие числа, которые являются корнями следствия, но не удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы отсеять посторонние корни, следует сделать проверку всех найденных значений неизвестного.

Замена входящего в уравнение выражения неабсолютно тождественным может нарушить равносильность. В результате у уравнения могут появиться посторонние корни, а некоторые корни могут быть потеряны.