Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Для любого математического выражения можно указать множество систем (наборов) значений входящих в него букв, при которых это выражение существует , т. е. принимает некоторое числовое значение. Такое множество мы будем называть областью определения ( областью существования ) рассматриваемого математического выражения.

Для выражения областью определения является числовая ось с «выколотой» точкой x = −1.

Для выражения log у √ x найти область определения уже несколько сложнее. Во-первых, из числа x извлекается квадратный корень. Эта операция возможна, если x ≥ 0. Чтобы затем можно было найти логарифм от √ x , необходимо √ x > 0. Оба условия выполняются при x > 0. В основании логарифма может стоять лишь положительное число, отличное от единицы. Таким образом, получаем область определения: x > 0, у > 0, у ≠ 1.

Два математических выражения называются тождественными , если

1) их области определения совпадают;

2) они принимают одинаковые числовые значения при подстановке в каждое выражение одного и того же набора значений входящих в него букв, произвольно выбранного из области определения.

Равенство, в котором правая и левая части являются тождественными выражениями, называется тождеством .

Для обозначения тождественного равенства иногда используется символ ≡.

Примеры тождеств: ( а − b )² = а ² − 2 аb + b ², sin² x + cos² x = 1,

Первые два тождества общеизвестны. Последнее равенство тоже является тождеством. В самом деле, область определения левой части не содержит ни одной точки, область определения правой части тоже не содержит ни одной точки. Поскольку области определения правой и левой частей — пустые множества, то требования 1) и 2) в определении тождества удовлетворяются. Равенство , как мы видели, истинно при всех x , кроме x = −1. Оно не является тождеством, так как требование 1) не удовлетворено. Однако нарушение происходит только в одной точке.

Введем понятие неабсолютного тождества.

Пусть в нашем распоряжении есть два математических выражения, имеющих разные области определения. Обозначим через U их общую часть. Если на множестве U значения обоих математических выражений совпадают, то говорят, что они неабсолютно тождественны , а соответствующее равенство называют неабсолютным тождеством .

Характерным примером неабсолютного тождества является соотношение

lg ху = lg x + lg у .

Область определения правой части: x > 0, у > 0, т. е. все точки плоскости, лежащие внутри I квадранта. Область определения левой части: x > 0, у > 0; x < 0, у < 0; это уже будут внутренние точки I и III квадрантов. Общая часть областей определения: x > 0, у > 0. На этой общей части приведенное соотношение превращается в истинное равенство.

Напомним определение тождества, которым обычно пользуются в средней школе.

Тождеством называется равенство, справедливое при всех значениях входящих в него букв, при которых обе его части имеют смысл.

Нетрудно заметить, что это определение объединяет понятия тождества и неабсолютного тождества в одно. Чтобы подчеркнуть, что мы пользуемся другим определением тождества, будем иногда вместо термина тождество употреблять термин абсолютное тождество .

Какие из следующих равенств являются абсолютными тождествами, а какие — неабсолютными? Приведите доказательство сделанного вами вывода.

1. sin² x + cos² x = 1,

2. tg x = sin x / cos x

3. tg x = 1/ ctg x

4. sec x = 1/ cos x

5. sec x cos x = 1,

6. sec x − 1/ cos x = 0,

7.

8.

9.

10.

11.

12.