Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

По определению

По определению

α 0= 1 при а ≠ 0.

Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа.

Таким образом, .

Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней :

Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.

Замечание . В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.

7.1.Упростите выражение

7.2.Упростите выражение

7.3.Упростите выражение

После упрощения выражения определите его знак в зависимости от x .

7.4.Упростите выражение

7.5.Упростите выражение

где .

7.6.Вычислите значения выражения

7.7.Преобразуйте выражение

так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.

7.8.Разложите на линейные относительно x , у , z , u множители выражение

( xy + zu )( x² − y ² + z ² − u ²) + ( xz + yu )( x² + у ² − z ² − u ²).

7.9.Докажите, что

7.10.Докажите, что если а + b + с = 0, то

7.11.Докажите, что при всех действительных значениях x и у имеет место равенство

7.12.Докажите, что

для любых действительных x и у , имеющих одинаковые знаки.

7.13. Докажите, что из условия

следует

( а + b + с )³ = 27 аbс .

7.14.Квадратный трехчлен 24 х ² + 48 x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.

Многочлен S ( x ) называется частным , а многочлен R ( x ) — остатком от деления многочлена P ( x ) на многочлен Q ( x ), если равенство

P ( x ) = Q ( x ) · S ( x ) + R ( x )

является тождеством и степень многочлена R ( x ) меньше степени многочлена Q ( x ).

Обобщенная теорема Виета.Для корней х 1, х 2, ..., х nуравнения