Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Если мы проведем в кубе линию центров оснований и построим отбрасываемую ею тень, то не составит труда вычертить тень, отбрасываемую всем верхним основанием, а затем и всем кубом (см. рис. 4.5).

4.1.Дан куб ABCDА 1 В 1 С 1 D 1. Через вершину А , середину E ребра BC и центр O грани СС 1 D 1 D проходит секущая плоскость. Найдите отношение, в котором она делит объем куба.

4.2.Дан куб ABCDА 1 В 1 С 1 D 1с ребром, равным единице. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А и середины F и G ребер В 1 С 1и С 1 D 1.

4.3.В кубе ABCDА 1 В 1 С 1 D 1проведена плоскость через вершину А , центр O 1верхнего основания А 1 В 1 С 1 D 1и центр Q боковой грани ВВ 1 С 1 С . Пусть E — точка пересечения секущей плоскости с ребром В 1 С 1. Найдите отношение В 1 E к ЕС 1.

4.4.Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD . Сторона CD продолжена на расстояние MD = 2 CD ( MC = 3 CD ). Через точку M , вершину В и середину ребра SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей пирамиды, полученных при пересечении ее этой плоскостью.

4.5.Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S . Через точки А , D и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

4.6.Дан куб ABCDА 1 В 1 С 1 D 1. На продолжении ребер AB , АА 1, AD отложены соответственно отрезки ВР , А 1 Q , DR длины 1,5 АВ . Через точки P , Q , R проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем куба?

4.7.Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна Q . Вычислите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

4.8.В треугольной призме ABCА 1 В 1 С 1боковое ребро равно l . В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной b , а прямая, проходящая через вершину В 1и центр основания ABC , перпендикулярна к основаниям. Найдите площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину ребра СС 1.

4.9.В прямоугольном параллелепипеде ABCDА 1 В 1 С 1 D 1( ABCD и А 1 В 1 С 1 D 1— основания) даны длины ребер AB = а , АD = b , АА 1= с . Пусть точка O — центр основания ABCD , O 1— центр основания А 1 В 1 С 1 D 1, F — точка, делящая отрезок O 1 O в отношении 1 : 3. Найдите площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно его диагонали АС 1и диагонали ВD основания.

4.10.В точке E , находящейся на расстоянии 2 h от плоскости основания куба с ребром h и на расстоянии R > 2 h от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку E и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.

4.11.На плоскость Π под прямым углом к ней падает пучок параллельных лучей. Как расположить над плоскостью куб с ребром а , чтобы отбрасываемая им тень имела максимальную площадь? Найдите площадь максимальной тени.

5.1.Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра O круга на хорды, проходящие через данную точку N внутри круга.

5.2.На плоскости зафиксированы две различные точки А и В . Найдите геометрическое место точек M , для каждой из которых AM · ВМ · cos ∠ AMB = ¾ АВ ².

5.3.На плоскости зафиксированы две различные точки А и В . Докажите, что геометрическое место точек M , удовлетворяющих условию 2 АМ ² + МВ ² = АВ ², есть окружность с диаметром AC , где точка С лежит на отрезке AB , причем AC / BC = 2.

5.4.Дан треугольник ABC . Найдите геометрическое место точек M , таких, что площади треугольников АМВ и NМС равны.

5.5.На плоскости даны два отрезка: AB и CD . Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых площади треугольников ABM и CDM равны.