Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

а 0 х n + a 1 x n − 1+ ... + а n − 1 x + а n = 0

имеют место формулы:

,

,

.

Для уравнения a 0 x n + a 1 x n − 1+ ... + а n = 0 с целыми коэффициентами а 0, а 1, ... , а n верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень p/ q , то p числитель является делителем свободного члена а n, а знаменатель q — делителем коэффициента а 0.

В частности, если а 0= 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена а n .

8.1.Решите уравнение

( x − 4,5) 4+ ( x − 5,5) 4= 1.

8.2.Решите уравнение

(4 x + 1)(12 x − 1)(3 x + 2)( x + 1) = 4.

8.3.Докажите, что уравнение

x ² − 3 у ² = 17

не имеет решений в целых числах.

8.4.Найдите все целые решения уравнения

x ² − 6 xу + 13 у ² = 100.

8.5.Найдите остаток от деления многочлена x 99+ x ³ + 10 x + 5 на многочлен x ² + 1.

8.6.Найдите все целочисленные решения уравнения

2 x ² у ² + у ² − 6 x ² − 12 = 0.

8.7.В уравнении

x 4+ аx ³ + bx ² + 6 x + 2 = 0

один из корней равен √3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.

8.8.При каких значениях а оба корня уравнения

x ² − ( а + 1) x + а + 4 = 0

отрицательны?

8.9.Найдите соотношение между а , b и с , если корни уравнения

x ³ + аx ² + bx + с = 0

образуют геометрическую прогрессию.

8.10.Известно, что уравнение x ³ + px + q = 0 имеет корни α 1, α 2, α 3. Выразите сумму α 1² + α 2² + α 3² через p и q .

8.11.При каких а и α трехчлен х ³ + ax + 1 делится на двучлен x − α без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?

8.12.Остатки от деления многочлена относительно x на x − 2 и x − 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на ( x − 2)( x − 3).

8.13.Найдите все действительные значения p и q , при которых х 4+ 1 делится на x² + рх + q .

8.14.Докажите, что многочлен

x² n + 1 − (2 n + 1) х n + 1+ (2 n + 1) х n − 1,

где n — натуральное число, делится на ( x − 1)³.

8.15.Определите p и q так, чтобы многочлен

6 х 4 − 7 х ³ + рх ² + 3 х + 2

делился без остатка на x² − x + q .

Равенства. Тождества.Два математических выражения, соединенных знаком =, образуют равенство .

Примеры равенств:

а ² + b ² = с ², 3 = 3, 3 = 5,

sin² x + cos² x = 1, , sin x = 3.

Числовое равенство может быть истинным (верным) или ложным (неверным). Равенство 3 = 3 истинное, равенство 3 = 5 ложное.

Буквенное равенство при различных значениях входящих в него букв также принимает одно из двух значений: «истина» или «ложь». Например, равенство а ² + b ² = с ² при а = 3, b = 4, с = 5 истинно, а при а = 3, b = 4, с = 6 ложно. Равенство sin² x + cos² x = 1 истинно при всех действительных значениях x , а равенство sin x = 3 всегда ложно.

Если какая-либо часть равенства (или обе части одновременно) перестает существовать, то равенство становится ложным. Равенство ложно при , где k — любое целое число, так как для четных k не существует ctg x , а для нечетных k не существует tg x . Равенство ложно при x = −1, так как его левая часть теряет смысл при этом значении x (обратите внимание, что правая часть существует всегда). Обе части равенства sin x = 3 всегда имеют смысл, однако это равенство всегда ложно.