Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

5.6. Дан куб с ребром а . Найдите геометрическое место середин отрезков длины l , один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой — на непараллельной ей диагонали нижнего основания.

6.1.Докажите, что р ² − 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.

6.2.Докажите, что n ³ + 2 n при любом натуральном n делится на 3.

6.3.Докажите, что число 3 105+ 4 105делится на 49 и 181.

6.4.Сколько в числе 500! содержится множителей 2?

6.5.Делится ли число на 81?

6.6.Определите, при каких целых значениях n выражение n 4+ 4 является простым числом.

6.7.Докажите, что является целым числом при любом четном n .

6.8.При каких целых значениях x дробь сократима?

6.9.Найдите все пятизначные числа вида ( x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.

6.10.Найдите трехзначное число ( а , b , с — его цифры), если четырехзначное число в три раза больше четырехзначного числа .

6.11.Найдите простое число p , если p + 2 и p + 4 — простые числа.

6.12.Докажите, что tg 5° — число иррациональное.

6.13.Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.

6.14.Найдите все целочисленные решения уравнения

3 x ² − 16 xy − 35 y ² + 17 = 0.

6.15.Сколько различных целочисленных пар ( x , y ) удовлетворяют уравнению

x ² = 4 y ² + 20 025?

6.16.Найдите натуральные x и y , удовлетворяющие условию 113 x − 69 y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.

Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.

Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам

1) а < x < b ;

2) а ≤ x ≤ b ;

3) а ≤ x < b ;

4) а < x ≤ b ;

5) x > а ;

6) x < а ;

7) x ≥ а ;

8) x ≤ а ,

где а < b , называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +∞); (−∞, а); [а, +∞); (−∞, а].

Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми ; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми . Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал ), отрезок (или сегмент ), полуотрезок .

По определению

Для арифметического корня имеет место формула

√ а ² = | а |.

Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде

( а + b )³ = а ³ + b ³ + 3 аb ( а + b );

( а − b )³ = а ³ − b ³ − 3 аb ( а − b ).

Следующая формула называется формулой сложного радикала:

(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).

По определению

где а ≥ 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.

Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла . Например, не имеет смысла, в то время как .