Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Таким образом,

f ( с ) = 0 (5′)

— истинное числовое равенство, т. е. x = с является также и корнем уравнения (5).

Остается убедиться в том, что уравнение (5) может иметь корни, посторонние для уравнения (4). Чтобы доказать это, достаточно привести пример. Уравнение

cos x + tg x − tg x = 0 (4′′)

после уничтожения подобных членов принимает вид

cos x = 0. (5′′)

Корнями уравнения (5′′) будут числа x = π/ 2+ k π. Но ни одно из них не удовлетворяет уравнению (4′′), так как tg x перестает существовать, когда cos x = 0.

Итак, теорема доказана.

Несколько уравнений могут образовать систему или совокупность.

Говорят о системе уравнений, если требуется найти все решения, общие для всех уравнений, входящих в систему.

Если же нужно найти все такие решения, которые удовлетворяют хотя бы одному из нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют совокупность.

Систему уравнений обычно записывают в столбик и ставят сбоку фигурную скобку — знак системы; совокупность уравнений, как правило, записывается в строку. Если же совокупность уравнений удобнее записать в столбик, то слева ставят квадратную скобку — знак совокупности.

Если мы рассмотрим совокупность двух уравнений:

x ² − x − 2 = 0 и x ² − 2 x − 3 = 0,

то корни первого: x 1= 2, x 2= −1 нужно объединить с корнями второго: x 1= 3, x 2= −1. Получим решение совокупности:

x 1= 2, x 2= −1, x 3= 3.

Если же мы рассмотрим систему

то из корней первого уравнения нужно выбрать те, которые удовлетворяют и второму уравнению системы. Получим только одно решение системы: x = −1.

Уравнение

f ( x ) · φ( x ) = 0 (6)

называется распадающимся.

Теорема 2.Уравнение (6) равносильно совокупности двух систем :

(7)

Доказательство.Если x = а — корень уравнения (6), то f ( а ) и φ( а ) существуют и либо f ( а ) = 0, либо φ( а ) = 0 (случай, когда оба сомножителя одновременно равны нулю нами из рассмотрения не исключен). Следовательно, одна из систем (7) удовлетворяется при x = а .

Пусть теперь x = а — корень совокупности (7). Если при x = а удовлетворяется либо первая, либо вторая система, то и в том и в другом случае f ( x ) · φ( x ) = 0, т. е. x = а — корень уравнения (6).

Докажите следующие теоремы о равносильности уравнений.

17.Если к обеим частям уравнения

f ( x ) = φ( x )

прибавить выражение ψ( x ), то в случае, когда ψ( x ) имеет смысл при всяком x , получится равносильное уравнение, в противном случае могут быть потеряны корни.

18.Уравнения

f ( x ) + ψ( x ) − ψ( x ) = φ( x )

и

f ( x ) = φ( x )

в случае, когда ψ( x ) имеет смысл при всяком x , равносильны; в противном случае второе уравнение является следствием первого.

19.Если в уравнении

(8)

отбросить знаменатель, то получится уравнение

f ( x ) = ψ( x ),

являющееся следствием данного уравнения.

19а.Уравнение (8) равносильно системе

(8а)

20.Если обе части уравнения f ( x ) = φ( x ) возвести в квадрат, то полученное уравнение

[ f ( x )]² = [φ( x )]² (9)

является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:

f ( x ) = φ( x ), f ( x ) = −φ( x ).

21.Чему равносильна система

22.Докажите, что следствием уравнения

является уравнение

при условии, что