Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9.31.Найдите все значения а , при которых система

имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение удовлетворяет уравнению x + у = 0 ( а , x , у — действительные числа).

9.32.Найдите все значения а , при которых система

имеет хотя бы одно решение для любого значения b ( а , b , x , у — действительные числа).

9.33.Найдите все значения а и b , при которых система уравнений

имеет единственное решение ( x , у , а , b — действительные числа, x > 0).

9.34.Решите систему

в области действительных чисел.

9.35.Решите уравнение

|6 − | x − 3| − | x + 1|| − аx − 5 а = 4

при всех действительных значениях параметра а .

9.36.При всех действительных а решите уравнение

9.37.Решите уравнение

9.38.Решите систему уравнений

О доказательстве неравенств.Доказать неравенство можно следующими способами, которые мы продемонстрируем на примере неравенства

1. От противного. Предположим противное:

Тогда

что невозможно.

2. По определению неравенства. Составим разность левой и правой частей и определим ее знак:

3. Вывести из ранее доказанного или очевидного неравенства. Мы знаем, что

откуда

Обратите внимание, что следующее «доказательство» неравенства является логически некорректным.

Если и, следовательно,

что очевидно.

Некорректность приведенных рассуждений состоит в том, что в качестве исходного пункта взято доказываемое неравенство. Таким образом установлено, что если то (√ а − √ b )² ≥ 0. Однако верное следствие может быть получено из ложной посылки. Если те же рассуждения провести в обратном порядке, то мы получим корректное доказательство, аналогичное тому, которое приведено выше под номером 3).

Решение неравенств. Система, совокупность.Решить неравенство — значит, найти все системы значений входящих в него неизвестных, при которых неравенство истинно, или доказать, что таких систем значений нет.

Если два или несколько неравенств должны удовлетворяться одновременно, то говорят, что они образуют систему .

Если достаточно, чтобы удовлетворялось одно из двух или нескольких неравенств, то говорят, что эти неравенства образуют совокупность .

Неравенства, образующие систему, записывают одно под другим, а сбоку ставят фигурную скобку — знак системы.

Например,

Решение этой системы показано на рис. 10.1 двойной штриховкой. Эта же система неравенств может быть записана так: 3 < x < 7.