Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Таким образом, после возведения данного неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении всех ограничений, которые присутствуют в данном неравенстве. Неравенство (4) нужно было заменить системой

решая которую мы нашли бы, что

т. е. x ≥ 50.

В каждом из неравенств 6—9 освободитесь от иррациональности, не нарушая равносильности:

6.

7.

8.

9.

Показательные и логарифмические неравенства.При решении показательных и логарифмических неравенств пользуются следующими свойствами:

1. Неравенство f ( x ) φ( x )> 1, где f ( x ) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

1а. Неравенство f ( x ) φ( x )< 1, где f ( x ) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

2. Неравенство log f ( x )φ( x ) > 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

2а. Неравенство log f ( x )φ( x ) < 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

Решения неравенств f ( x ) φ( x )< 1 и f ( x ) φ( x )> 1 в предположении, что допускаются отрицательные значения f ( x ), разобраны в задачах 10.29, 10.30, 10.32.

Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень больше единицы, если основание и показатель степени одинаково расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е. основание правее единицы и показатель правее нуля или основание левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля, если основание и логарифмируемое выражение одинаково расположены по отношению к единице. Если расположение элементов, о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а логарифм меньше нуля.

10.1.Докажите, что если а + b = 2, где а и b — действительные числа, то а 4+ b 4 ≥ 2.

10.2.Докажите, что

(1 + a 1)(1 + а 2)...(1 + а n ) ≥ 2 n ,

если а 1, а 2, ..., а n , а n — положительные числа и а 1 а 2... а n = 1.

10.3.Дано а + b = с , где а , b , с — положительные числа. Докажите, что

а ⅔+ b ⅔> с ⅔.

10.4.Докажите, что − x ³ + x ² ≤ ¼, если 0 ≤ x ≤ 1.

10.5.Докажите неравенство

при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.

10.6.Докажите неравенство

( а + b ) n < 2 n ( а n + b n ),

если а > 0, b > 0, n — натуральное число.

10.7.Докажите, что при а > b > 0 и p > q где а , b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.