Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и C yyyy =0! » Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компо­ненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для z.) Таким образом, выживают только компоненты типа С ххуу , С хуху , С хуух и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у и наоборот (или все z на x и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненуле­вые возможности:

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симмет­рия еще выше. Числа С должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С:

C хххх =C ххуу +C хуху (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тен­зор напряжений S ij должен быть связан с e ij способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ полу­чить S ij из e ij — умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S ij = (Постоянная)Xе ij». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вста­вить единичный тензор d ij , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е ij . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, — это Se jj . (Он преоб­разуется подобно х 2 +y 2+z 2, а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S ij с e ij для изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2m; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в пре­дыдущей главе.) Постоянные (m, и l называются упругими по­стоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действи­тельно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, напри­мер через модуль Юнга Y и отношение Пуассона s. На вашу долю оставляю показать, что

§ 3. Движения в упругом теле

Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в равно­весии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энергия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы не уравновешены. Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5).

Фиг. 39.5. Маленький элемент объема V , ограниченный поверхностью А,

Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действую­щая на него сила F должна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обуслов­лена «внешними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоянии на вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема f внешн. Полная же внешняя сила F внешнравна интегралу от f внешнпо всему объему кусочка: