Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

что как раз дает (39.32) с другим определением постоянных. Вас может удивить, почему у нас нет третьего слагаемого СXСXu, которое тоже вектор. Но вспомните, что СXСXu

в точности равно С 2u-С(С·u), т. е. это линейная комбина­ция двух уже написанных слагаемых. Так что оно не добавит ничего нового. Мы еще раз доказали, что в изотропном мате­риале есть только две упругие постоянные.

Для получения уравнения движения материала мы можем положить выражение (39.32) равным r д 2 u /дt 2 и, пренебрегая объемными силами типа силы тяжести, написать

Это уравнение выглядит похожим на волновое уравнение, с которым мы познакомились в электромагнетизме, за исклю­чением одного добавленного слагаемого, которое усложняет дело. Для материалов, упругие свойства которых всюду оди­наковы, мы можем увидеть, на что похоже общее решение. Вы, наверное, помните, что любое векторное поле может быть записано в виде суммы двух векторов, у одного из которых нулю равна дивергенция, а у другого — ротор. Другими сло­вами, можно положить

где

Подставляя вместо uв уравнении (39.33) u 1+ u 2, получаем

Взяв дивергенцию этого уравнения, мы можем исключить из него u 1:

Поскольку операторы С 2и С могут быть переставлены, можно вынести оператор дивергенции и получить

А так как СX u 2, по определению, равно нулю, то ротор вы­ражения в фигурных скобках также будет нулем, так что выражение в скобках само по себе тождественно равно нулю и

Это векторное волновое уравнение для волн, движущихся со скоростью С 2= Ц(l+2m)/r. Поскольку ротор u 2есть нуль, то эти волны не связаны со сдвигом, а представляют просто волны сжатия наподобие звуковых, которые мы изучали в предыдущих главах и скорость которых как раз равна найденной нами для С прод.

Подобным же образом, беря ротор уравнения (39.36), можно показать, что u 1удовлетворяет уравнению

Это снова векторное волновое уравнение для волн, распро­страняющихся со скоростью C 2 =Цm/r. Поскольку С· u 1равно нулю, то перемещение u 1 не приводит к изменению плот­ности; вектор u 1соответствует поперечным или сдвиговым волнам, которые встречались нам в предыдущей главе, а

C 2=C сдвиг.

Если мы хотим знать статические напряжения в изотропном материале, то в принципе их можно найти, решая уравнение (39.32) с f, равным нулю (или равным статическим объемным силам, обусловленным силой тяжести, такой, как rg) при опре­деленных условиях, связанных с силами, действующими на поверхности нашего большого куска материала. Сделать это не­сколько сложнее, чем в соответствующих задачах электромагне­тизма. Во-первых, это более трудно потому, что сами уравнения несколько сложнее, и, во-вторых, формы тех упругих тел, кото­рыми мы обычно интересуемся, гораздо сложнее. На лекциях по электричеству мы часто интересовались решением уравнений Максвелла в областях сравнительно простой геометрической формы, таких, как цилиндр, сфера и т. д. В теории упру­гости, нам приходится заниматься объектами гораздо более сложной формы, например крюком подъемного крана, или ко­ленчатым автомобильным валом, или ротором газовой турбины. Такие задачи иногда можно приближенно решить численным методом, воспользовавшись принципом минимальной энер­гии, о котором мы упомянули ранее. Другой способ — это воспользоваться моделями предметов и измерять внутренние напряжения экспериментально с по­мощью поляризованного света.