Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ион­ных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к бо­ковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к не­му и следующими побли­зости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами меж­ду далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны си­лы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Сле­дует еще учесть соответ­ствующие силы в плоскос­тях yz и zx.

Поскольку нас инте­ресуют только упругие постоянные, которые опи­сывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратич­ные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно.

Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).

Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k 1. Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k 2 . (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором e ij . В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компо­нентами: е хх , е xy и е yy . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11.

Фиг, 39.11. Перемещение ближайших и следующих побли­зости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)

Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения u x , u y , выписанные в табл. 39.1.

Таблица 39.1 · КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ u x, u у

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k 2 /2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка y-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изме­нение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонталь­ного перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент u х и u v в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами u х и u y . можно получить выра­жение для энергии