Feynmann - Feynmann 4a

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Отражение волн

§ 2. Волны в огра­ниченном пространстве и собственные частоты

§ 3. Двумерные собственные колебания

§ 4. Связанные маятники

§ 5. Линейные системы

§ 1. Отражение волн

В этой главе мы рассмотрим ряд замеча­тельных явлений, возникающих в результате «заключения» волны в некоторую ограничен­ную область. Сначала нам придется устано­вить несколько частных фактов, относящихся, например, к колебанию струны, а затем, обоб­щив эти факты, мы придем, по-видимому, к наиболее далеко идущему принципу математи­ческой физики.

Первый пример волн в ограниченном про­странстве — это волны в пространстве, огра­ниченном с одной стороны. Давайте возьмем простой случай одномерной волны на струне. Можно было бы рассмотреть плоскую звуко­вую волну в пространстве, ограниченном с одной стороны стенкой, или какие-то другие примеры той же природы, но для наших тепе­решних целей вполне достаточно простой струны. Предположим, что один конец струны закреплен, ну, например, вмурован в «абсо­лютно жесткую» стенку. Математически это можно описать, указав, что перемещение струны у в точке x=0 должно быть нулем, ибо конец струны не может двигаться. Далее, если бы в этом деле не участвовала стенка, то, как мы знаем, общее решение, описывающее движение струны, можно было бы представить в виде суммы двух функций F ( x - ct ) и G ( x + ct ), причем первая описывает волну, бегущую по струне в одну сторону, а вторая — в другую, так что

y = F ( x - ct )+ G ( x + ct ) (49.1)

будет общим решением для любой струны. Но нам, помимо этого, нужно еще удовлетворить условию неподвижности одного конца. Если в уравнении (49.1) мы положим х=0 и посмотрим, какие будут у в любой момент t , то получим y = F (- ct )+ G (+ ct ) . Но эта сумма должна быть нулем в любой момент времени, а это означает, что функция G (+ ct ) должна быть равна - F (- ct ). Другими словами, функция G от некоторой величины должна быть равна функ­ции - F от той же величины со знаком минус. Подставляя снова полученный результат в уравнение (49.1), находим ре­шение поставленной задачи:

y = F ( x - ct )- F (- x - ct ). (49.2)

Ясно, что это выражение всегда даст y=0, если х поло­жить равным нулю.

На фиг. 49.1 представлена волна, идущая в отрицательном x-направлении вблизи точки х=0, и гипотетическая волна, идущая в противоположном направлении с обратным знаком и с другой стороны от начала координат.

Фиг. 49.1. Отражение от стенки как суперпозиция двух бегущих волн.

Я сказал «гипотетиче­ская», потому что с другой стороны, конечно, никакой колеб­лющейся струны нет. Истинное же движение струны должно рассматриваться как сумма этих двух волн в области положи­тельных х. Достигнув начала координат, они в точке х=0 полностью уничтожат друг друга, а затем вторая (отраженная) волна, идущая, разумеется, в противоположном направлении, окажется единственной волной в области положительных х. Эти результаты эквивалентны следующему утверждению: волна, достигнув защемленного конца струны, отражается от него с изменением знака. Такое отражение всегда можно понять, если представить себе, как нечто дошедшее до конца струны вылетит затем из-за стены «вверх ногами». Короче говоря, если мы предположим, что струна бесконечна и что, где бы ни находилась волна, бегущая в одном направлении, всегда существует симметричная ей относительно точки х=0 другая волна, бегущая в противоположном направлении, то в самой точке х=0 никакого перемещения не будет, а поэтому безразлично, защемлена ли струна в этом месте или нет.

Следующий наш пример — отражение периодической вол­ны. Предположим, что волна, описываемая функцией F ( x - ct ), представляет собой синусоидальную волну, которая затем от­ражается. Тогда отраженная волна - F ( -х- ct ) тоже будет синусоидальной волной той же частоты, но пойдет она в про­тивоположном направлении. Эту ситуацию проще всего опи­сать с помощью комплексных функций