Feynmann - Feynmann 4a

При этих обстоятельствах, поскольку квадрат выражения (48.19) представляет вероятность найти частицу в некотором месте, мы знаем, что в данный момент больше шансов найти ча­стицу вблизи центра «колокола», где амплитуда максимальна.

Если подождать немного, то волна передвинется, и по проше­ствии некоторого промежутка времени «колокол» перейдет в какое-то другое место. Зная, что частица вначале где-то была расположена, мы ожидали бы, согласно классической меха­нике, что она будет где-то и позднее, ведь есть же у нее ско­рость и импульс в конце концов. При этом квантовая теория дает в пределе правильные классические соотношения между энергией, импульсом и скоростью, если только групповая ско­рость, скорость модуляции, будет равна скорости классиче­ской частицы с тем же самым импульсом.

Сейчас необходимо показать, так ли это на самом деле или нет. Согласно классической теории, энергия связана со ско­ростью уравнением

Точно таким же образом импульс равен

Как следствие отсюда после исключения v получается

E 2-р 2c 2=m 2c 4,

т. е. р m р m = m 2 . Это величайший результат четырехмерья, о котором мы уже говорили много раз, устанавливающий связь между энергией и импульсом в классической теории. Теперь же, поскольку мы собираемся заменить E и p на w и k помощью подстановки Е= h w и p = hk , он означает, что в квантовой меха­нике должна существовать связь

Таким образом, возникло соотношение между частотой и вол­новым числом квантовомеханической амплитуды, описывающей частицу с массой m . Из этого уравнения можно получить

т. е. фазовая скорость w/k; снова больше скорости света!

Рассмотрим теперь групповую скорость. Она должна быть равна скорости, с которой движется модуляция, т. е. d w/ dk .

Чтобы найти ее, нужно продифференцировать квадратный корень; это дело нехитрое. Производная равна

Но входящий сюда квадратный корень есть попросту w /с, так что эту формулу можно записать в виде dw/dk=е 2k/w. Далее, так как k/w равно р/Е, то

Но, согласно (48.20) и (48.21), с 2 р/Е равно v — скорости ча­стицы в классической механике. Таким образом видно, что, принимая во внимание основные квантовомеханические соот­ношения E = h w и p = hk , определяющие w и k через классиче­ские величины Е и р и дающие только уравнение w 2-k 2c 2= =m 2с 4/h 2, теперь можно понять также соотношения (48.20) и (48.21), связывающие Е и р со скоростью. Групповая скорость, разумеется, должна быть скоростью частиц, если эта интер­претация вообще имеет какой-либо смысл. Пусть в какой-то момент, как мы полагаем, частица находится в одном месте, а затем; скажем через 10 минут,— в другом. Тогда, согласно кван­товой механике, расстояние, пройденное «колоколом», разде­ленное на интервал времени, должно равняться классической скорости частицы.

§ 6. Волны в пространстве трех измерений

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими об­щими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, при­званные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волна­ми. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

здесь с — скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете — то это ско­рость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но из­быточное давление, как и избыточная плотность, тоже распро­страняется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению.