Feynmann - Feynmann 4a

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения элект­родинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому урав­нению для звука.

§ 5. Скорость звука

При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с 2 s =( dP / d r ) 0 . (47.21) Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как при этом меняется температура. Можно ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что температура при этом не меняется. Он считал, что тепло пере­дается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает изотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано позже Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меня­ются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пренебрежимо мал, если только длина волны ве­лика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии. Мы можем, естественно, ожидать, что погло­щение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука.

Итак, для звука истинная скорость изменения давления с плотностью должна вычисляться без учета отвода тепла. Это соответствует адиабатическому изменению давления, для ко­торого мы нашли, что PV g=const, где V — объем. Поскольку плотность r обратно пропорциональна объему, связь P и r для адиабатических процессов дается соотношением

P=const·r g, (47.22)

откуда мы получаем dP / d r = g P / r . Тогда для скорости звука возникает соотношение

c 2 s=gP/r. (47.23)

Можно еще написать с 2 s= gPV/rV и использовать соотноше­ние PV = NkT . Мы видим, кроме того, что rV есть масса газа, которую можно записать как Nm или m , где m — масса молекулы, а m — молекулярный вес. Таким образом, находим

откуда видно, что скорость звука зависит только от темпе­ратуры газа и не зависит от давления или плотности. Мы уже отмечали, что

kT= 1/ 3m2>, (47.25)

где 2> — средняя квадратичная скорость молекул. Отсюда следует, что с 2 s=g/3 2>, или

Это равенство означает, что скорость звука есть средняя ско­рость молекул воздуха (точнее, корень квадратный из средней квадратичной скорости), умноженная на некоторое число, грубо говоря, на 1/(3) 1 / 2. Другими словами, она того же порядка величины, что и скорость молекул, но на самом деле несколько меньше средней скорости молекул.

В общем-то мы могли этого ожидать, потому что такое воз­мущение, как изменение плотности, передается в конечном счете движением молекул. Однако подобного рода соображения не подсказывают нам точного значения скорости; могло ведь оказаться, что звук переносится самыми быстрыми или самыми медленными молекулами. Разумно и весьма утешительно, что скорость звука оказалась равной приблизительно половине средней молекулярной скорости.

* При таком выборе P отн Р — уже не максимальная амплитуда зву­кового давления, а «среднее квадратичное» давление, равное максималь­ному, деленному на 1/ Ц 2.

Глава 48

БИЕНИЯ

§ 1. Сложение двух волн

§ 2. Некоторые замечания о биениях и модуляции

§ 3. Боковые полосы

§ 4. Локализован­ный волновой пакет

§ 5. Амплитуда вероятности частиц

§ 6. Волны в простран­стве трех измерений

§ 7. Собственные колебания

§ 1. Сложение двух волн

Не так давно мы довольно подробно обсуж­дали свойства световых волн и их интерферен­цию, т. е. эффект суперпозиции двух волн от различных источников. Но при этом пред­полагалось, что частоты источников оди­наковы. В этой же главе мы остановимся на некоторых явлениях, возникающих при интер­ференции двух источников с различными ча­стотами.