Feynmann - Feynmann 4a

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все вели­чины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Р u в (47.11) с помощью (47.4):

r 0 д 2c/ д t 2-c д r u/ д x (47.12)

а затем исключить r uс помощью (I). Тогда r 0сократится и у нас останется

д 2c/ д t 2=x д 2c/ д x 2. (47.13)

Обозначим с 2 s = x , тогда можно написать

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распростра­нение звука в среде.

§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно прохо­дить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном урав­нении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записы­вается в виде f ( x - vt ). Посмотрим теперь, является ли f ( x - vt ) решением волнового уравнения. Вычисляя д c /дх, получаем производную функции d c ldx = f '( x - vt ). Дифференцируя еще раз, находим

Дифференцируя эту же функцию c по t , получаем значение — V , умноженное на производную, или д c / dt =- vf ( x - vt ); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f (х - vt ) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c s .

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида c (х, t )= g ( x + vt ) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распростра­нялась слева направо, заключается в знаке v , но знак д 2 c / dt 2 не зависит от выбора x + vt или х - vt , потому что в эту производ­ную входит только v 2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c s .

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем c 1 . Это значит, что вторая производная 3d по х равна второй производной c 1по t 1, умноженной на 1/с 2 s . И пусть есть второе решение c 2, обладаю­щее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда полу­чается

c (x, t)= c 1(x, t) + c 2(x, t ). (47.17)

Теперь мы хотим удостовериться, что c (х, t ) тоже представ­ляет некую волну, т. е. c тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

и вдобавок

Отсюда следует, что d 2 c / dx 2 =( l / c 2 s ) д 2 c / dt 2 , так что справедли­вость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по c .

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y , тоже удовлет­воряет волновому уравнению