Alberto Moretti - En sayos analíticos

Pero también dicen:

[…] la razón principal en favor de una teoría acerca de los principios de la matemática siempre ha de ser inductiva, i. e. debe residir en el hecho de que la teoría en cuestión nos permite deducir la matemática ordinaria. […] las primeras deducciones [las que parten de las premisas elegidas], cuando llegan a este punto [el punto en que implican las verdades matemáticas ordinarias, esto es, el “punto de la mayor auto-evidencia”], dan razones, más para creer en las premisas porque implican consecuencias verdaderas, que para creer esas consecuencias porque se siguen de las premisas. ( PM , v)

Esto indica que la tarea analítica anterior se completaba con un momento que cabe llamar sintético: (4) Deducción de las verdades aritméticas y solución de problemas de fundamentos, tales como las paradojas, a partir de esos principios. En este último estadio, el corpus de las verdades aritméticas y del análisis matemático actúa como lo que, tiempo después, será calificado como el núcleo del “criterio de adecuación” del análisis propuesto en la fase propiamente analítica (Carnap, 1950). Precisamente, fueron las dificultades encontradas para “sintetizar” todo ese corpus lo que condujo a los autores de PM a agregar el axioma de reducibilidad y el axioma de infinitud a la lista inicialmente propuesta. Más tarde dirá Russell (1914a: p. 214; OKEW , en adelante):

Ahora podemos establecer en términos generales la naturaleza del análisis filosófico […]. Comenzamos con un cuerpo de conocimiento común, que constituye nuestros datos. Bajo examen, los datos resultan complejos, bastante vagos y en gran medida lógicamente interdependientes. Mediante análisis los reducimos, tanto como podamos, a proposiciones más simples y precisas, y las disponemos en cadenas deductivas en las cuales cierto número de proposiciones iniciales ofrecen una garantía lógica para todas las demás.

Esta “garantía lógica” alude a una relación de fundamentación objetiva y no implica, como se advierte tomando en cuenta la cita anterior, una mayor certidumbre psicológica.

Ese propósito de “sintetizar”, a partir del resultado del análisis efectuado, todas las verdades aritméticas, prefigura el problema general de establecer la compleción de un sistema axiomático relativamente a un conjunto determinado de verdades. Para el sistema axiomático de PM este problema fue solucionado afirmativamente, respecto de las tautologías, por Post en 1920 y, respecto de las verdades lógicas elementales, por Gödel en 1930. Pero en 1931, para sorpresa de muchos, Gödel mostró que el sistema axiomático de PM , y cualquier otro sistema esencialmente similar, 9es necesariamente incompleto respecto de la totalidad de las verdades aritméticas.

Cuando se presupone que las leyes aritméticas son verdaderas y derivadas de los axiomas de Peano, y que las leyes lógicas son verdades acerca de todas las proposiciones, funciones proposicionales y objetos, mostrar la derivación de las primeras a partir de las segundas no plantea el problema de la consistencia del sistema deductivo. Tampoco hay motivo para que sea seria la cuestión de si el sistema es suficiente para “sintetizar” todas las verdades aritméticas. Una consecuencia del teorema de Gödel que prueba la existencia de verdades aritméticas indemostrables en PM fue la urgencia por enfrentar esos problemas. En la obra de Russell, como antes en la de Frege y luego en la del primer Wittgenstein, las consideraciones que motivan la construcción del lenguaje en el que se formula el sistema que se propone como análisis de la aritmética y de los conceptos aritméticos (y, en general, de todo conocimiento), no son vistas como una teoría que estuviera sometida también a escrutinio. Su cometido parece ser, solamente, poner ante nosotros un lenguaje claro, o clarificar el modo adecuado de usar con fines cognoscitivos el lenguaje que tenemos. El resultado de Gödel, y los métodos que condujeron a él, dieron impulso a la idea (discutible) de que es necesario construir genuinas teorías acerca de los lenguajes utilizados para el análisis filosófico, teorías que escindan, por un lado la estructura sintáctica de ese lenguaje y, por otro, su capacidad referencial. Teorías que han de recurrir a un lenguaje diferente de aquel que las motiva. Poniendo, de este modo, seriamente en cuestión el propósito de encontrar un lenguaje único para la expresión de todo el conocimiento (un lenguaje donde fuesen formulables todas las teorías). Aunque aquel resultado es un enorme obstáculo para el proyecto conjunto del logicismo y el constructivismo estrictos 10, no afecta la índole del método analítico empleado en PM , algunos de cuyos frutos recordaremos a continuación.

Un modo de apreciar la importancia que puede revestir el análisis de la forma lógica de las oraciones y, consecuentemente, de sus predicados componentes, se tiene al observar el tratamiento de las paradojas contenido en PM .

La paradoja de Russell tiene una versión relativa a las clases y otra relativa a las funciones proposicionales (nociones descendientes, respectivamente, de las ideas fregeanas de extensiones conceptuales y conceptos). La primera se centra en lo que parece ser la definición de una clase posible: la clase de las clases que no son elementos de sí mismas. Si existe entonces, o bien pertenece a sí misma o no lo hace. En cualquier caso se llega a una contradicción (en los sistemas clásicos de lógica). La definición parece correcta pero, si tiene sentido, los conceptos de clase y de pertenecer a una clase son contradictorios. Sin embargo, según el modelo de análisis filosófico russelliano, ese sentido depende de la forma lógica que les atribuyamos (o les descubramos) a las afirmaciones de pertenencia entre clases; esto es, la forma lógica de las oraciones del tipo “F pertenece a G” (con simbología habitual “F ∈ G”). La segunda versión de la paradoja resulta de preguntarse si la función proposicional ser una función proposicional que no se autoaplica se aplica o no se aplica a sí misma. Una contradicción espera en ambos casos. Pero, otra vez, el desenlace depende de cuál sea la forma lógica de afirmaciones como “La función G se aplica a la función F” (con simbología habitual “G(F)”). La paradoja del mentiroso, por otra parte, queda planteada por oraciones comunes del tipo “Esta oración es falsa” que también parecen acarrear contradicciones. Pero ¿cuál es la forma profunda de una oración como “La oración P es falsa” (su forma genuina o, al menos, integrable a un análisis consistente del lenguaje al que pertenece)?

La teoría simple de los tipos, de 1903, y la teoría ramificada de los tipos presentada en 1908 y desarrollada en PM , solucionan la versión sobre clases de la paradoja de Russell. Más aún, luego de adoptada en general la teoría de las descripciones (Russell, 1905), su aplicación a los nombres de clase los hace desaparecer, como primitivos del lenguaje, en favor de las funciones proposicionales y con ello disuelve el problema de esa paradoja. Estas funciones, ya recordamos, también presentan una dificultad similar pero, nuevamente, las teorías simple o ramificada de los tipos lo resuelven. La teoría ramificada, además, es suficiente para solucionar las paradojas del tipo de la del mentiroso 11. Observemos algunos detalles.

Apelando a consideraciones metafísicas (lógico-metafísicas) que no se originaron en el intento de evitar estas paradojas y que fueron iniciadas por Platón y Aristóteles, Russell se convenció de que toda función proposicional (por ejemplo “x es impar” o “x es pariente de y”) tiene un rango de significación, y que cada rango forma un tipo. Es decir, para cada función tal hay asociada una totalidad formada por los objetos a los que la función puede aplicarse significativamente, totalidad que podrá verse como una clase pero que nunca podrá ser una clase universal. Leemos (Russell, 1908: p. 161; MLBTT , en adelante):