Alberto Moretti - En sayos analíticos

Como resultado del abandono del monismo idealista le llega a Russell el convencimiento de que hay verdades totales acerca de números, o que sólo refieren a números y relaciones numéricas (verdades que constituyen la aritmética), y que es legítimo analizar las oraciones que las expresan, por ejemplo para entender cómo es que las conocemos. Así le queda despejado el camino para llevar adelante el proyecto logicista (que en la primera mitad el siglo XIX se encuentra en Bolzano y luego fue más o menos entrevisto por muchos matemáticos de la época de Frege). Este proyecto es esencialmente gnoseológico: a partir del factum de que conocemos a priori verdades aritméticas, el reivindicado análisis filosófico tiene que explicar cómo es que podemos tener este conocimiento. Con este fin, la tesis logicista tal como la formuló Frege y la recogió Russell, sostiene: (a) las verdades aritméticas son a priori porque son analíticas (en contra de la célebre posición de Kant, que las caracterizaba como sintéticas aunque a priori ), (b) la lógica justifica el carácter analítico de la aritmética. La lógica explica cómo es posible que conozcamos verdades aritméticas mostrando que son consecuencia de los principios de la razón analítica. Y si alguien negara que, aún siendo aritméticamente equivalentes, las paráfrasis lógicas den el significado que las verdades aritméticas de hecho tienen para sus usuarios, bastará decir que la reducción (si es exitosa) muestra que no hace falta más que lógica para tener esas verdades, signifiquen lo que signifiquen, si es que significan algo determinado, para sus usuarios. La primera versión russelliana (deudora de los recursos analíticos aprendidos de Frege) del desarrollo de este proyecto aparece en 1903. Por entonces sus preocupaciones teóricas coincidieron con las de Alfred North Whitehead. 4Y en Cambridge, entre ambos, comenzó a gestarse la monumental versión que expondrán en Principia Mathematica .

La manera en que Russell y Whitehead desarrollaron su análisis logicista dependió en buena medida de lo que Russell recibió, directa o indirectamente, del trabajo de Frege. Fundamentalmente fueron los siguientes principios metódicos, resultados y problemas teóricos: (1) el análisis de conceptos sólo puede hacerse luego de resolver el análisis de los juicios que los involucran (Frege, 1884: §62); (2) el análisis de los juicios empieza por la determinación de su forma lógica, y el núcleo del análisis de la forma de la oración elemental es la distinción entre función y argumentos (Frege, 1879: §9); (3) la determinación de la forma lógica de los juicios cuantificacionales revela diferencias cruciales entre forma lógica y forma gramatical (Frege, 1884: §64) (en consonancia con ideas también presentes en los textos de Bradley) y esto otorga un papel esencial a la paráfrasis como paso inicial del análisis; (4) los principios de la lógica cuantificacional; (5) el análisis de la idea de orden en una serie y consecuentemente del principio de inducción matemática, y el análisis del concepto de número natural, todo ello con un enfoque realista acerca de los conceptos (entidades intensionales) y de las extensiones de los conceptos, (las que ulteriormente fueron tratadas como clases en extensión) (Frege, 1893, 1903); (6) el colapso fregeano provocado por una célebre contradicción señalada por Russell en la teoría de las extensiones de conceptos. 5

A partir de esa herencia, Russell fue delineando un nuevo análisis del concepto de número natural y de las verdades aritméticas que expuso, con Whitehead, en Principia Mathematica (Whitehead y Russell, 1910-1913; PM , en adelante) y que empezó reconociendo:

1. La realidad de las partes y de las relaciones que componen una proposición y el consiguiente problema de la unidad de la proposición. Problema sin solución clara en el marco de la dicotomía todo/partes 6y que, en general, remite al problema del significado de las oraciones.

2. Ciertas restricciones gnoseológicas derivadas de la tesis del conocimiento directo ( acquaintance ) de algunas entidades. 7Y una marcada parsimonia ontológica manifiesta en la preferencia por las “construcciones lógicas” sobre las entidades postuladas por abducción.

3. La realidad de las funciones proposicionales (entidades intensionales que sustituyen a los conceptos fregeanos) junto con desconfianza sobre la realidad de las clases (entidades que sustituyen a las extensiones de conceptos).

4. La importancia teórica de varias paradojas acerca de las clases, y de otras de tipo lógico-semántico.

5. Un nuevo uso de la diferencia entre forma lógica y forma gramatical que dio lugar a: (i) la eliminación de los nombres de clase; (ii) la teoría de tipos lógicos. Ambos recursos fundamentados, respectivamente, en la teoría de las descripciones (y la idea general de símbolo incompleto) 8y el desarrollo de la metáfora del círculo vicioso.

Acerca de las aportaciones de cada uno y del modo en que ambos autores trabajaron en la redacción de Principia Mathematica , Russell (1959) escribió:

Whitehead me confió los problemas filosóficos. En cuanto a los problemas matemáticos, Whitehead inventó la mayor parte de la notación, excepto la parte que fue tomada de Peano; yo realicé la mayor parte del trabajo relacionado con las series y Whitehead hizo la mayor parte del resto. Esto sólo se refiere a los primeros borradores. Cada una de las partes fue escrita por completo tres veces. Cuando uno de nosotros producía un primer borrador, se lo enviaba al otro y este, usualmente, lo modificaba considerablemente. Después, quien había hecho el primer borrador le daba la forma final. Es difícil que haya alguna línea en los tres volúmenes que no sea producto de ambos.

El resultado fue un formidable ejemplo de análisis filosófico, en un sentido que pasará a ser característico de la “filosofía analítica”, y cuyos “momentos” podemos resumir del siguiente modo: (1) Paráfrasis : hallar la forma lógica correcta de las afirmaciones del corpus teórico que se esté examinando. En el caso de PM , son las afirmaciones de la aritmética y del análisis matemático las que importan. Su examen condujo a la teoría de tipos, para evitar las paradojas semánticas y la versión intensional de la paradoja de Russell, y a la teoría de las descripciones, para eliminar los nombres de clase y, con eso, evitar la paradoja de Russell sobre las clases; (2) Descomposición : análisis de los conceptos componentes de las paráfrasis alcanzadas en el paso anterior en conceptos más básicos, ejemplificado por las definiciones de conceptos aritméticos a partir de conceptos lógicos; (3) Fundamentación : búsqueda de principios explicativos de las verdades analizadas, esto es, de principios que rigen las relaciones entre los conceptos básicos proporcionados en el paso anterior, ejemplificado por la adopción de axiomas y reglas para la lógica cuantificacional elemental junto con otros axiomas pretendidamente lógicos. Es claro que, en general, el procedimiento es iterable. Dicen Russell y Whitehead:

[…] dos tareas opuestas […] tienen que realizarse concurrentemente. Por una parte, tenemos que analizar la matemática que existe, con la intención de descubrir qué premisas se emplean, si esas premisas son mutuamente consistentes, y si son pasibles de reducción a premisas más fundamentales. Por otra parte, una vez que hemos decidido cuáles serán nuestras premisas, tenemos que reconstruir tanto como parezca necesario de los datos previamente analizados […] No sostenemos que el análisis no podría llevarse más lejos: no tenemos motivo para suponer que es imposible encontrar ideas y axiomas más simples por medio de los cuales podríamos definir y demostrar aquellos con los que empezamos. Todo lo que afirmamos es que las ideas y axiomas con los que partimos son suficientes, no que sean necesarios. ( PM , v-vi)