Janko Auerswald - Grundlagen der Funktionswerkstoffe für Studium und Praxis

Abb. 2.11 Atomares Kraft-Abstand-Modell. Die Nachbaratome stoßen sich elektrostatisch ab, wenn sie sich zu nahe kommen, und ziehen sich durch die Bindungskraft an, wenn sie sich voneinander entfernen. Daraus ergibt sich der Gleichgewichtsabstand bei 0 K im Minimum der Energiekurve.

Tensorcharakter der elastischen Eigenschaften am Beispiel isotroper Werkstoffe

Zieht man einen Werkstoff durch elastische Verformung in die Länge, so dehnt er sich in Richtung der Zugkraft leicht aus. Senkrecht dazu hingegen verjüngt sich der Querschnitt durch die Querkontraktion. Die Ursache dieses Verhaltens liegt darin begründet, dass im Werkstoff die elastischen Bindungskräfte (Federkräfte) Tensorcharakter haben und in allen Raumrichtungen wirken. Ein einachsiger Spannungszustand führt über die mehrdimensionalen elastischen Eigenschaften im Werkstoff zu einem dreiachsigen Dehnungszustand. Dies soll am Beispiel isotroper und quasiisotroper Materialien wie polykristallinem Gold, Silber, Kupfer, Aluminium, Eisen (jeweils ohne Textur) oder amorphem Glas gezeigt werden. Dabei ist σ die mechanische Spannung (Kraft pro Fläche), ɛ die elastische Dehnung (Längenänderung bezogen auf die Ausgangslänge), E der Elastizitätsmodul, G der Schubmodul und v die Querkontraktionszahl.

Abb. 2.12 Atomares Energie-Abstand-Modell. Der Gleichgewichtsabstand wird mit zunehmender Temperatur größer (thermische Ausdehnung), wobei die Atome immer stärker um ihre Gleichgewichtslage schwingen.

Tensor des einachsigen Spannungszustands bei Zugbeanspruchung in x -Rich-tung:

Tensor der elastischen Nachgiebigkeiten für isotrope Werkstoffe in der Notation nach Voigt:

Damit ergibt aus der einachsigen Spannung mit Hilfe der Matrizenmultiplikation nach Voigt

ein dreiachsiger Dehnungstensor

Umgekehrt hängen die Tensoren der mechanischen Spannung σ iund der Dehnung ɛ jfür isotrope Werkstoffe gemäß der Voigt’schen Notation über folgenden Tensor der elastischen Steifigkeiten C ijzusammen:

Der Elastizitätsmodul E , der Schubmodul G und die Querkontraktionszahl v hängen folgendermaßen zusammen:

Die Querkontraktionszahl v ergibt sich bei einachsiger Zugbeanspruchung in x-Richtung als Quotient aus der Normaldehnung senkrecht zur Lastachse (negative Querdehnung in y- oder z -Richtung) und der Normaldehnung in Belastungsrichtung (Längsdehnung in x -Richtung). Das dem Quotienten voranstehende negative Vorzeichen eliminiert das negative Vorzeichen der Querdehnung.

Bei isotropen Materialien besteht unter einachsiger Beanspruchung in Richtung der wirkenden Kraft (im Beispiel oben wäre das die x -Richtung) ein einfacher Zusammenhang zwischen der mechanischen Spannung σ und der Dehnung ɛ über den E-Modul:

Dieses vereinfachte Hooke’sche Gesetz lässt sich aus der obigen Tensorrechnung ableiten.

Tensoren der elastischen Eigenschaften für anisotrope kubische Einkristalle

Für das kubische Kristallsystem (kfz, krz, Diamant- und Zinkblendestruktur), d. h. für einkristalline Materialien wie Silizium für Halbleiter, Galliumarsenid für Laserdioden oder Nickelbasissuperlegierungen für einkristalline Turbinenschaufeln, gelten folgende Zusammenhänge. Die Tensoren der Dehnung ɛ iund der mechanischen Spannung σ jhängen gemäß der Voigt’schen Notation über den Tensor der elastischen Nachgiebigkeiten Sij zusammen:

Die Tensoren der mechanischen Spannung σ iund Dehnung ɛ jhängen gemäß der Voigt’schen Notation bei anisotropen einkristallinen kubischen Werkstoffen über den Tensor C ijder elastischen Steifigkeiten zusammen:

Aus diesem Tensor lässt sich auch die Anisotropie oder Richtungsabhängigkeit des E-Moduls ableiten. Für kubische Systeme von Metall-, Halbleiter- oder Ionenkris-tallen ergibt sich der Anisotropiefaktor für den richtungsabhängigen E-Modul zu:

Ist der Anisotropiefaktor größer als 1, so ist der E-Modul in den (111)-Richtun-gen am größten. Dies ist für die meisten kubischen Metalle, wie z. B. Gold, Kupfer, α-Eisen, Nickel, Lithium, Natrium, Kalium oder Aluminium, sowie für viele Halbleiter wie Silizium, Germanium oder Diamant der Fall.

Ist der Anisotropiefaktor nahe bei 1, so verhält sich der E-Modul nahezu isotrop. Dies ist z. B. bei Wolfram der Fall. Ist der Anisotropiefaktor kleiner als 1, so ist der E-Modul in den ⟨100⟩-Richtungen am größten. Dies gilt für die Keramik Titancarbid oder die kubischen Ionenkristalle von Natriumchlorid (Kochsalz) oder Kaliumchlorid.

Die größtmögliche elastische Verformung liegt für die meisten Materialien weit unter 1 % Dehnung. Bei höherer Belastung brechen spröde Werkstoffe. Bei Metallen beginnt bei Überschreiten einer kritischen Last die plastische Verformung durch Versetzungsgleiten. Atome wechseln dabei irreversibel ihre Position. Die zur plastischen Verformung benötigte kritische mechanische Spannung wird je nach Werkstoff als ,,Fließgrenze“, ,,Streckgrenze“ oder ,,0.2 %-Dehngrenze“ bezeichnet. Sie ist ein Festigkeitskennwert und wird in MPa angegeben. Festigkeiten sind ein Maß für die Widerstandsfähigkeit eines Werkstoffes gegen plastische (d. h. bleibende, irreversible) Verformung oder gegen Bruch (bei spröden Werkstoffen ohne plastische Verformung).