Víctor Navarro Brotons - Jerónimo Muñoz

Junto a la geometría de Euclides se encuentra un tratado de trigonometría titulado De sinibus rectis et obliquis , basado principalmente en una obra similar de Oronce Finé, aunque Muñoz también utilizó De triangulis de Regiomontano 6y la obra de Erasmus Reinhold, autor de las Tablas pruténicas. 7El objeto de la obra de Finé era determinar la longitud (proporcional a la longitud del semidiámetro del círculo) de la semicuerda (es decir, el seno), cuya cuerda subtiende un arco cualquiera dado de un cuadrante de círculo. Con tal conocimiento, dado cualquier arco de círculo se podría determinar la correspondiente cuerda e, inversamente, dada cualquier cuerda se podría determinar el arco correspondiente. Finé clasificó este estudio como una subdisciplina de la geometría. Su teoría trataba de las demostraciones, por medio de los Elementos de Euclides, de proposiciones que relacionaban grados de arco de un cuadrante de círculo con las longitudes de las semicuerdas correspondientes. Su práctica se orientaba a facilitar la solución de problemas de geometría y astronomía reduciéndolos a problemas de cálculo. La obra de Finé se compone de dos libros: en el primero se establecen definiciones y proposiciones para calcular senos y el segundo está dedicado principalmente al uso de la tabla de senos rectos, incluida al final de la obra. 8

Muñoz sigue básicamente a Finé en los dos primeros libros, si bien en el segundo explica el modo de componer las tablas de Regiomontano (semidiámetro igual a 60.000) y Erasmus Reinhold (10.000.000), así como el modo de convertir la tabla de Finé en la de Regiomontano y viceversa. Además, Muñoz añade un tercer libro dedicado a exponer «la utilidad de este tratado». Primero expone cómo determinar la altura del Sol, la Luna y los astros con un triquetrum y una regla graduada dispuesta verticalmente y acompañada de una plomada. En segundo lugar, explica procedimientos de nivelación para construir canales para el riego. Se refiere a los instrumentos de nivelación mencionados por Vitruvio: la dioptra y el corobate, y dice que por dioptra Vitruvio entiende cualquier instrumento como el astrolabio, el planisferio y los instrumentos mecánicos provistos de visuales para observar los desniveles del terreno; de acuerdo con Vitruvio, señala los errores de este tipo de instrumentos y prefiere el corobate, del que da la etimología: chora , ‘lugar, región’, y bateo , ‘grado’, señalando que hay muchos tipos. 9A continuación, describe el nivel con forma de A, con dos patas iguales y en el centro una traviesa, sus diversos tipos y la forma de usarlo, con varios ejemplos.

Por otra parte, en la versión latina del Comentario al Almagesto de Teón, en el primer libro, a continuación del texto de Teón relativo al cálculo de cuerdas y a las cuestiones de trigonometría esférica tratadas por Ptolomeo en el Almagesto , Muñoz añade 16 proposiciones de trigonometría plana y 15 de triángulos esféricos basadas en Geber y en De triangulis de Regiomontano. 10Asimismo, incluye una tabla de senos basada en Finé, una de tangentes tomada de Erasmus Reinhold y otra de secantes elaborada por él mismo con la ayuda de Pedro Ruiz, discípulo de Muñoz. Muñoz usa la nomenclatura introducida por Regiomontano y llama a la tabla de tangentes «canon foecundus prior», y a la de secantes «foecundus posterior». 11

Para el estudio de la perspectiva u óptica geométrica, Muñoz prefirió, al parecer, seguir a Euclides antes que a los perspectivistas medievales, como Pecham o Witelo, autores de textos frecuentemente utilizados en las universidades desde finales de la Edad Media. 12Se conservan dos copias del comentario compuesto por Muñoz de la Optica , a partir de la traducción latina de Zamberti que este publicó en 1505 junto a los Elementos y otras obras de Euclides o atribuidas a él. 13

Como es sabido, la Optica de Euclides es la primera exposición completa de una teoría matemática de la visión que nos ha quedado. En ella, las referencias a los aspectos del proceso visual no geometrizables son escasas, es decir, Euclides no se ocupa de forma explícita de la fisiología y la psicología de la visión.

La Optica comienza con siete definiciones: 14

1. Las líneas rectas que salen del ojo se propagan abriendo (entre sí) grandes distancias. 15

2. La figura circunscrita por los rayos visuales es un cono que tiene su vértice en el ojo y su base en los límites de lo visto.

3. Se ve aquello sobre lo que caen los rayos visuales; no se ve aquello sobre lo que no caen.

4. Lo que se ve bajo un ángulo más grande parece más grande; bajo un ángulo más pequeño, más pequeño; bajo un ángulo igual, igual.

5. Lo que se ve con rayos más altos parece más alto y lo que se ve con rayos más bajos, más bajo.

6. Y, análogamente, lo que se ve con rayos más a la derecha parece más a la derecha y lo que se ve con rayos más a la izquierda, más a la izquierda.

7. Y lo que se ve con ángulos más numerosos parece más nítido.

Los tres primeros postulados definen el proceso visual y lo insertan en un molde geométrico. La naturaleza rectilínea de los rayos, que Euclides asume en el primer postulado, permite el desarrollo de una teoría de la visión según líneas geométricas, de modo que los rayos visuales permiten transformar los problemas ópticos en problemas geométricos. Todos los matemáticos griegos conocidos que contribuyeron a la óptica geométrica lo hicieron a partir del modelo de un rayo que sale de la pupila y choca en línea recta con lo mirado. Este modelo permitía trazar un cono visual, que tenía su vértice en el ojo y su base en el contorno del objeto, para explicar la percepción de su forma; romper el rayo cuando encontraba un objeto, para calcular la localización de la imagen y la de la cosa vista; y medir la desviación que sufre en contacto con otro medio como el vidrio o el agua. En este sentido, debe subrayarse que la óptica geométrica clásica, de Euclides a Ptolomeo, no era «óptica» en el sentido moderno de ‘física de la luz’. Su objetivo era más bien el fenómeno subjetivo de la percepción visual. La luz no fue nunca, en aquella óptica, la protagonista de una teoría de la visión, aunque era normalmente una de las condiciones para que se actualizara. 16

El texto de Muñoz comienza con un largo prólogo en el que discute las diferentes teorías de la visión de los filósofos griegos y sus méritos respectivos. Primero señala la importancia de la óptica, junto a la aritmética y la geometría, para los estudios de filosofía, y añade que la óptica no es totalmente matemática, sino mixta de física y matemática. Dice que, según Zamberti, traductor de la Optica de Euclides, este fue seguidor de Platón al afirmar que la visión se produce gracias a la emisión de rayos visuales, idea que es muy adecuada para el estudio geométrico de las cuestiones de óptica o de la visión. Muñoz conviene así con Zamberti y con Platón en que la visión se produce gracias a que un fuego visual emana del ojo fundiéndose con su semejante, la luz, para formar un único cuerpo homogéneo que se extendería del ojo al objeto visible. La visión resultaría del encuentro entre la emanación del objeto y el cuerpo homogéneo ya formado por la fusión de la emanación ocular y la luz del día. 17Muñoz critica las teorías de los atomistas basadas en la intromisión de formas o imágenes en el ojo, e indica que con esta teoría no se puede construir una óptica geométrica. 18También critica la teoría aristotélica basada en la actualización de la transparencia y en la participación de los ojos en este medio continuo, el transparente, desde el objeto visible hasta el interior del ojo. 19La visión consistiría, según Aristóteles, «en la recepción de alguna cualidad proyectada desde el objeto a la vista y transmitida por el aire ambiente». Señala Muñoz, además, la inconsistencia de Aristóteles, ya que en los Meteorológicos , al ocuparse del arco iris, de los parhelios, los halos y otros fenómenos se basa en la emisión de rayos visuales. 20