Маркус дю Сотой - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Другие культуры не так легко признавали свое поражение перед лицом такого уравнения. В Древнем Китае числа использовали для подсчета денег, а там, где дело касается денег, часто возникают и долги. Легко можно представить себе обстоятельства, в которых я добавляю в свой кошелек три монеты и обнаруживаю, что в нем осталась всего одна. Две остальные монеты могли уйти на оплату долга другу. В 200 г. до н. э. китайские математики использовали для представления чисел красные палочки; однако палочки, которые использовали для подсчета долгов, были черными. Отсюда и пошла традиция записывать убытки в бухгалтерских книгах красными чернилами – только где-то по дороге цвета успели поменяться.

Доказательство иррациональности квадратного корня из 2

Пусть L – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длина обоих катетов которого равна 1. По теореме Пифагора, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Но площадь обоих меньших квадратов равна 1, а площадь большего квадрата равна L 2. Таким образом, L есть число, квадрат которого равен 2.

Предположим, что L равно отношению двух целых чисел: L = p / q .

Можно предположить, что одно из чисел p и q – нечетное. Если оба эти числа четные, числитель и знаменатель дроби можно делить на 2 до тех пор, пока одно из чисел не станет нечетным.

Из L 2 = 2 следует, что p 2/ q 2 = 2.

Умножим обе стороны равенства на q 2: p 2 = 2 ∙ q 2.

Итак, четное число р или нечетное? Мы знаем, что р 2– четное число, поэтому и р должно быть четным, так как нечетное число в квадрате также дает нечетное число. Значит, р = 2 ∙ n для некоторого числа п . Раз р – четное число, то q должно быть нечетным. Но подождите секундочку…

2 ∙ q 2 = p 2 = (2 ∙ n ) 2 = 2 ∙ 2 ∙ n 2, и, разделив обе части этого равенства на 2, мы получим: q 2 = 2 ∙ n 2.

Вспомним, что раньше мы выяснили, что q – нечетное число.

Значит, и q 2должно быть нечетным. Но правая часть этого уравнения равна четному числу! Итак, если длина L может быть выражена в виде дроби, то четность равна нечетности. Поскольку такой вывод явно абсурден, наше исходное предположение о возможности выразить L в виде отношения двух целых чисел должно быть ложным.

По-моему, это одно из самых потрясающих доказательств в математике. Мы показали при помощи конечного логического рассуждения, что существует длина, для выражения которой требуется бесконечное число.

Первая теория отрицательных чисел возникла в VII столетии в Индии. В частности, Брахмагупта установил некоторые важные математические свойства таких чисел, например что «долг, умноженный на долг, приносит богатство» – то есть что минус на минус дает при умножении плюс. Интересно отметить, что это положение – не самостоятельный закон, а следствие из аксиом математики. Его доказательство представляет собой весьма увлекательную задачу. Европейцы убедились в существовании чисел, позволяющих решать уравнения такого рода, лишь к XV в. В XIII в. употребление отрицательных чисел даже было запрещено во Флоренции.

Новые числа появлялись и дальше, особенно когда математики столкнулись с проблемой решения уравнений типа х 2= –1. На первый взгляд решение казалось невозможным. Ведь если взять положительное число и возвести его в квадрат, результат будет положительным, а как доказал Брахмагупта, квадрат отрицательного числа также положителен. Когда математики эпохи Возрождения встречали это уравнение, их первой реакцией было предположение о невозможности его решения. И тогда итальянский математик Рафаэль Бомбелли сделал следующий радикальный шаг: он предположил, что существует некое новое число, квадрат которого равен –1. Оказалось, что такое число можно использовать для решения огромной массы уравнений, которые до этого считались нерешаемыми. Интересно, что в некоторых случаях такое мнимое число требовалось лишь в промежуточных вычислениях и не входило в конечный ответ, который содержал только уже привычные, обычные числа, явно дающие решение данного уравнения.

Все это выглядело как математическая алхимия, но многие отказывались допустить новые числа Бомбелли в каноническую математику. Декарт писал о них довольно презрительно, отвергая такие числа как мнимые. С течением времени математики осознали не только их силу, но и тот факт, что их введение в математику, по-видимому, не порождает никаких противоречий. Мнимые числа заняли причитающееся им место в математике только в начале XIX в., отчасти благодаря картинке, которая помогла математикам зримо представить их себе.