Маркус дю Сотой - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Обычные числа (называемые в математике вещественными) были отложены по горизонтальной оси. Мнимые числа, такие как i, как был обозначен квадратный корень из –1, были представлены на вертикальной оси. Эта двумерная картина мнимых, или комплексных, чисел внесла большой вклад в примирение с этими новыми числами. Сила этого представления была подтверждена открытием того факта, что геометрия этой картины отражает арифметику чисел.

Существуют ли еще и другие числа, скрытые за этой гранью, еще не открытые? В надежде открыть другие новые числа можно попробовать рассмотреть другие странные уравнения. Например, как насчет уравнения х 4 = –1?

Может быть, для решения этого уравнения необходимы какие-то новые числа? Но одна из величайших теорем XIX в., называемая теперь основной теоремой алгебры, доказала, что использование мнимого числа i и вещественных чисел позволяет решить любое алгебраическое уравнение. Например, если взять

и возвести его в четвертую степень, результат будет равен –1. Мы достигли грани, за которой решение уравнений более не позволяет находить новые числа.

Найденное древними греками доказательство иррациональности квадратного корня из двух было первым из многих математических доказательств невозможности тех или иных вещей. Другое доказательство невозможности касалось так называемой концепции «квадратуры круга». Математическая идея квадратуры круга даже вошла во многие языки в качестве выражения чего-то невозможного. Квадратура круга относится к числу геометрических задач, которые древние греки обожали решать с использованием линейки (без делений) и циркуля (для построения дуг окружностей). Они придумали весьма изобретательные способы построения точных равносторонних треугольников, пятиугольников и шестиугольников при помощи этих инструментов.

Задача о квадратуре круга сводится к построению при помощи этих инструментов квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Как греки ни старались, решение этой задачи им не давалось. Столь же неразрешимую задачу задал оракул на острове Делос. Жители этого греческого острова просили оракула посоветовать им, как избавиться от чумы, которую наслал на них бог Аполлон. Оракул ответил, что им следует удвоить размер алтаря Аполлона. Алтарь этот имел совершенную кубическую форму. Платон истолковал это указание как требование построить при помощи линейки и циркуля второй совершенный куб, объем которого был бы вдвое больше объема первого.

Если объем второго куба равен удвоенному объему первого, значит, длина его стороны должна быть равна произведению длины стороны первого куба на кубический корень из двух. Отмерить квадратный корень из двух просто, так как ему равна длина диагонали квадрата с единичной стороной; однако получить кубический корень из двух оказалось так трудно, что жители Делоса не смогли решить эту задачу. Может быть, при помощи геометрии и математики оракул просто хотел отвлечь внимание делосцев от стоявших перед ними более насущных социальных проблем.

Решение задач о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла (третья классическая задача) оказалось невозможным. Но математики сумели доказать, вне всякого сомнения, что все эти вещи невозможны, только к XIX в. Ключ к доказательству невозможности этих геометрических построений появился лишь с развитием теории групп – языка, используемого для понимания симметрии, который и сам я использую в своих исследованиях. Оказалось, что при помощи циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых являются решениями некоторых типов алгебраических уравнений.

Решение задачи о квадратуре круга требует построения при помощи циркуля и линейки отрезка длиной π на основе отрезка единичной длины. Однако в 1882 г. было доказано, что π – число не просто иррациональное, но трансцендентное, что означает, что оно не является решением никакого алгебраического уравнения. А это, в свою очередь, значит, что квадратура круга невозможна.

Математика очень хорошо умеет доказывать, что что-то невозможно. Одна из самых знаменитых теорем, содержащихся в книгах по математике, – это Великая теорема Ферма, утверждающая, что невозможно найти ненулевые целые числа, удовлетворяющие уравнению