Роб Истуэй - Математика для мам и пап - Домашка без мучений

Мы, конечно, не утверждаем, что при помощи математики следует отпугивать детей от велосипедов, но не секрет, что к девяти или десяти годам многие мальчики и девочки начинают интересоваться такими вопросами, как изменение климата или защита исчезающих видов животных. Они уже в состоянии и разобраться в различных способах представления данных, и понять, как можно создать у читателя или зрителя разное впечатление в зависимости от того, в абсолютных или относительных величинах приводятся эти данные.

Почти все мы помним, как нас учили вычислять среднее значение некоторого набора чисел: нужно сложить их все и разделить на общее количество чисел. Строго говоря, так определяется среднее арифметическое – чаще всего встречающаяся форма усреднения, которую нередко называют просто средним значением. Правда математики и статистики пользуются полным названием, чтобы не возникло путаницы с другими формами усреднения – медианным значением и модой. Но если большинству людей вполне хватает среднего арифметического, зачем детям учить про моду и медиану?

Медиананекоторого ряда данных – это просто середина: половина значений в нем больше медианного значения, половина – меньше. Предположим, вы бросаете два кубика пять раз подряд, складываете значения на кубиках и получаете следующий набор:

7, 11, 11, 11, 5

(Кстати говоря, мы действительно бросали кубики – подобные необычные последовательности возникают чаще, чем кажется.)

Упорядочим полученные значения:

5, 7, 11, 11, 11

Среднее арифметическое этого набора равно девяти (5 + 7 + 11 + 11 + 11 = 45, 45: 5 = 9).

Медиана же здесь равна 11 – значению, которое стоит в середине упорядоченного списка. Его легко найти, если в наборе нечетное количество значений. Если бы мы бросили кубики шесть раз, то следовало бы взять два центральных числа – третье и четвертое в данном случае – и найти среднее арифметическое между ними.

Наконец мода. Это значение, которое чаще всего встречается в наборе данных. В случае с нашими бросками кубика мода равна 11, поскольку именно этого числа в наборе больше всего.

Предположим, что вы работаете в магазине мужской обуви и продали за утро десять пар туфель. Вот их размеры (в Великобритании): 8, 7, 9, 6, 9, 8, 10, 8, 10, 6.

Упорядочив данные, получим: 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10.

Среднее арифметическое этого набора равно 8,1; медианное равно восьми, мода тоже равна восьми. Если вам необходимо решить, какого размера туфли заказывать в большем количестве, то по всем значениям среднего ясно, что нужны туфли восьмого размера.

Но предположим, что вы продали обувь следующих размеров: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8.

Среднее арифметическое – 6,5; медиана – 6,5; мода равна восьми. Какой размер туфель вам заказывать? Если представить подобный набор данных во времени, то ясно, что в этом отношении полезнее всего использовать моду (и действительно, своим названием оно указывает на другую «моду» – это самое модное, самое популярное значение в серии).

Таким образом, разные значения среднего позволяют по-разному взглянуть на данные, а какое из них выбрать, зависит от цели поиска «типичного».

Еще одно понятие, с которым полезно познакомиться, – диапазон:наибольшее и наименьшее значения набора данных. Это понятие также может быть полезно при принятии решений. Предположим, что в нашем магазине мужской обуви за шесть месяцев в диапазон продаваемой обуви попали размеры с 4-го по 12-й. Вряд ли имеет смысл заказывать на фабрике мужские туфли 3-го или 13-го размера, правда?

Чему равны среднее арифметическое, медиана, мода и диапазон следующего набора очков: 4, 11, 8, 6, 5, 6, 9, 11, 7, 2?

Рассказывают (скорее всего, это вымышленная история), что однажды в США ведущий новостной программы сказал, озвучивая прогноз погоды: «Вероятность дождя в субботу составляет 75 %, в воскресенье – 25 %. Я полагаю, это означает, что в какой-то момент в выходные дождь пойдет со 100 %-ной вероятностью».

Жизнь наша оказалась бы намного проще, будь все вокруг определенным и предсказуемым. Если бы только мы могли точно знать, что завтра нас ждет хорошая погода, что всегда сможем производить выплаты по ипотечному кредиту, что успеем подготовить своих детей к школе, а машина обязательно заведется с первого раза! С другой стороны, тогда жизнь сделалась бы довольно скучной штукой…