Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Но иногда Евклид прибегает и к косвенному методу доведения до абсурда. Этот способ заключается в постулировании утверждения, обратного тому, которое требуется доказать, — здесь Евклид и читатель должны быть согласны друг с другом. Путем рассуждений мы приходим одновременно к некоему предложению и к его отрицанию, то есть к неприемлемому результату. Следовательно, исходное утверждение оказывается неверным, а обратное ему, которое и требовалось доказать, истинно. Здесь кроется логический принцип, который Евклид нигде не объясняет отдельно: из двух обратных друг другу утверждений — когда одно является отрицанием другого — одно обязательно будет верным, а другое ложным. Хотя Евклид и никогда не описывал метод доведения до абсурда, он часто прибегал к нему. Этот метод доказательства по своему существу можно считать аристотелевским; его с трудом можно вписать в анализ, скорее он лежит в области синтеза.

Фрагмент папируса с рисунком, иллюстрирующим предложение 5 книги II Евклида, найденный при раскопках Оксиринха (Пемжде), древнего города в 160 км от Каира.

Изложение в рисунках первого предложения книги I. Оливье Бирн(1810- 1890).

Для доказательства того, что не существует ни одного числа, которое в квадрате было бы равно двум, философ использовал метод доведения до абсурда.

Нет причин для существования числа, квадрат которого был бы равен 2.

На современном языке это означает, что квадратный корень из числа 2 — иррациональное число. Аристотель сначала принимает истинным противоположный постулат о том, что это число рациональное, и приходит к заключению: в таком случае «четное число одновременно есть также и нечетное», а это невозможно. Запишем его рассуждения в современном виде.

Предположим (дополнительная гипотеза), что

2 = m²/n²

где m и n — два числа разной четности. Следовательно, 2n ²= m ². Тогда, если m — четное число (то есть m = 2m'), то n — нечетное. Следовательно, 2n ²= 4m' ². То есть n ²= 2m' ², и n — четное.

Теперь рассмотрим еще один пример, который показывает, что, используя метод доведения до абсурда, Евклид прибегал к идеальным математическим объектам. Как мы уже сказали, при доказательстве необходимо установить, что построенные математические объекты правильны. Тем не менее метод доведения до абсурда предполагает, что в начале допускается существование неких математических объектов, как если бы они были реальными. Потом доказывается, что эта предпосылка ошибочна, то есть требуется построение объектов, которые не могут быть построены.

Эту проблему можно решить, приняв тот факт, что процесс построения происходит только в идеальной области фигур. Например, представим себе круг и прямую: они пересекаются или в двух точках, или в одной (в случае с касательной), или вообще не пересекаются. Если они пересекаются в двух точках, то эти точки существуют в идеальной геометрии, или, иначе говоря, в геометрической методологии. Например:

РИС. 1

Книга I, предложение 6. Если у треугольника два угла равны, то и противоположные им стороны равны.

Евклид рассматривает фигуру на рисунке 1 (треугольник АВС с равными углами СВА и АСВ, у которого при этом противоположные стороны АВ и АС неравны; например, одна, АВ, длиннее АС).

Но такого треугольника не существует. Это иллюстрация дополнительного постулата, который оказывается ложным.

Рисунок 2 проясняет ход рассуждений Евклида. Мы и включаем его в эту главу, поскольку на его примере видны трудности использования ошибочных фигур. Они используются, чтобы облегчить понимание доказательства, но этой цели труднее достичь, когда фигуры заведомо невозможны.

РИС. 2

В таких доказательствах нет простоты, характерной для анализа, но в них видна глубина знаний геометрии и логико-дедуктивного метода, присущего синтезу. Необходимо упомянуть, что эта доказательная техника пришлась по нраву не всем древнегреческим геометрам, поэтому в различных комментариях к «Началам» встречаются и другие доказательства, приведенные, чтобы избежать ее. Яркий тому пример — Герои Александрийский.