Для решения задач необходим анализ, то есть знание некоторых базовых сведений, которые позволяют построить объект. Например, если дана сторона АВ, нужно подумать, какие инструменты потребуются для построения равностороннего треугольника. Для этого можно представить его уже построенным и рассмотреть, что связывает все его части (см. построение пятиугольника в главе 4). В теоремах же главное — синтез от постулатов к требуемому результату. Первое предложение первой книги, несмотря на всю его простоту, позволяет нам проследить разницу между анализом и синтезом.
Книга I, предложение 1.
На данной ограниченной прямой можно построить равносторонний треугольник (см. рисунок).
Части теоремы |
Protasis (утверждение) |
Построить равносторонний треугольник на заданной прямой. |
Ekthesis (изложение) |
Дана прямая АВ. |
Diorismos (ограничение) |
Необходимо построить равносторонний треугольник на АВ. |
Kataskeue (построение)
Проведем окружность АВ с центром А и радиусом АВ (постулат 3). |
Проведем окружность ВА с центром В и радиусом ВА (постулат 3). |
Проведем прямые СА и СВ из точки С, в которой пересекаются две окружности (постулат 1). |
Apodeixis (доказательство) |
Поскольку точка А — центр окружности АВ, СА равен АВ (определение 15). Аналогично, если В — центр окружности ВА, ВС равен ВА (определение 15). Но два объекта, равные одному и тому же объекту, равны между собой (общее понятие 1). Таким образом, СА также равен СВ. Следовательно, прямые АВ, СВ и СА равны. |
Sumperasma (заключение) |
Треугольник АВС равносторонний, и мы построили то, что требовалось. Ч. Т. Д. (что и требовалось доказать). |
В этом предложении есть все необходимое (см. таблицу на следующей странице). Для построения используются постулаты 3 и 1. В доказательстве используется определение 15, общее понятие 1 и элементарная логика. Представив изначально равносторонний треугольник ЛВС, мы получаем множество отправных точек для построения и доказательства. Исходя из этого «идеального» образа можно провести синтетическое доказательство, поскольку в нем стороны равны и образуют треугольник. В другом случае, например с правильным пятиугольником, это будет гораздо сложнее.
Хотя у циркуля нет памяти, по первому постулату возможно «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой» и таким образом добавлять равные отрезки, необходимые для построения правильных фигур. Также возможно разделить отрезок на меньшие части.
Проанализируем еще два доказательства, чтобы рассмотреть логико-дедуктивный метод «Начал».
Книга I, предложение 5.
В равнобедренных треугольниках углы у основания равны между собой (см. рисунок).
1. Дан равнобедренный треугольник ΔABG с равными сторонами АВ и AG (определение 20).
2. Продлим их на равные отрезки BZ и GH соответственно (общее понятие 2, предложение 2).
3. Соединим Z c G, а Н с В (постулат 1).
4. Треугольники ΔAGZ и ΔAВН равны (предложение 4, по критерию равенства треугольников сторона — угол — сторона), поскольку у них равны стороны ^4Z и АН (общее понятие 2) и AG и АВ соответственно, и общий угол между ними. Следовательно, углы <���АНВ равны, как и стороны ZG и НВ.
5. Треугольники ΔGBZ и ΔBGH равны (предложение 4), следовательно, углы <���АВН и
Книга I, предложение 15. Если две прямые пересекаются, то образуют в вершине углы, равные между собой (см. рисунок).
1. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (утверждение).
2. Необходимо доказать, что углы <���СЕВ равны.
3. Суммы пар углов <���СЕВ <���СЕА и <���СЕА
4. Следовательно, суммы пар углов <���СЕВ <���СЕА и <���СЕА
5. Если мы вычтем из обеих пар угол <���СЕА, оставшиеся углы <���СЕВ и
Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.
Читать дальше