Josep Carrera: Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

«Если геометрия располагает некоторыми элементами, то можно будет понять все остальные науки, без них же невозможно охватить все ее разнообразие, и другие науки будут недосягаемы».

Прокл также описывает различные значения этого термина. По мнению Гиппократа Хиосского, элемент — это положение, имеющее фундаментальную важность для получения и дедуктивной организации других результатов; Менехм рассматривал элемент в двух значениях: «слабом», когда он имеет вид предыдущей леммы (например, предложение 1 из книги I по отношению к предложению 2 той же книги), и «сильном», когда он имеет вид определения, общего понятия и постулата. Сочинение Евклида может именоваться «Элементы» («Начала») именно в «сильном» значении слова, хотя в нем встречаются элементы и в «слабом» значении, так как, определив основные принципы, он придает своему труду дедуктивную структуру и, следовательно, большую дидактическую ценность. Поэтому в «Началах» содержатся не все известные на тот момент геометрические результаты, а только те, которые могут служить основой последующих рассуждений. В этом смысле «Начала» превосходят другие предшествующие ему сочинения с таким же названием. Такие мыслители, как Архимед, Аполлоний, Эратосфен, Птолемей, Папп, Прокл, используют этот труд как главный свод начальных знаний для изучения математики.

Как мы уже сказали, структура «Начал» соответствует духу Аристотеля. Напомним, что общие понятия (см. таблицу) — это само собой разумеющиеся истины. Мы сконцентрируемся на пяти из них и затронем шестое. В общих понятиях говорится об отношениях равенства или неравенства количественного типа, что подходит для геометрических величин, натуральных чисел и пропорций. Таким образом, их область применения очень широка, и с точки зрения методологии «Начал» они имеют первоочередное значение.

Два общих понятия, четвертое и шестое, не попадают под это описание, поскольку относятся к геометрическим объектам и поэтому должны быть включены в список постулатов. Четвертое общее понятие косвенно вводит понятие движения: если мы сместим два геометрических объекта и они совпадут, значит, до перемещения они были равны. Шестое общее понятие, которое Евклид использует в качестве примера в предложении 4 книги I, имеет чисто геометрический характер: в нем говорится о геометрических объектах и вопросе (не-)существования.

Напротив, постулаты (см. таблицу) фиксируют обстоятельства существования, в том числе и определенных геометрических объектов.

Первые три постулата относятся к так называемому построению с помощью линейки и циркуля. В них утверждается, что существуют прямые, концами которых являются две точки (и эти прямые можно продолжить до бесконечности), и окружности с заданным центром и радиусом. У циркуля нет памяти: если он закрылся, значение невозможно восстановить. Но во втором предложении книги I циркуль ведет себя как инструмент, наделенный памятью.

Остановимся на минуту и подумаем о существовании предметов, которым дали определение. По Платону, существование реально. Определение всего лишь дает имя уже существующему объекту, позволяя нам дать ему образ. А по мнению Аристотеля, для первичных вещей существование постулируется, для вторичных — должно устанавливаться. Следовательно, у существования есть пределы. Аристотель пишет:

«Если нечто не существует, то никто не знает, что это; следовательно, мы не знаем, к чему относится речь или имя, как когда я говорю о химере, никто не может знать, каково это существо, когда я его называю.