Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Таким образом, определение как наименование не подразумевает существования, хотя, по логике, должно соответствовать какой-то реальности. Обычно в геометрии существование устанавливается после точного определения объекта. Поэтому необходимо очень внимательно использовать определения в доказательствах до того, как установлено существование определяемого объекта.

Они нуждаются в примерах осязательных, доступных, понятных, наглядных, не вызывающих сомнения, с математическими доказательствами, которые нельзя опровергнуть, вроде, например, такого: «Если мы из двух равных величин вычтем равные части, то остатки также будут равны».

Прослеживается четкая разница между первыми определениями, которые опираются на такие неопределенные понятия, как часть, ширина, длина и так далее, и остальными, основанными на уже рассмотренных геометрических понятиях, например круг, центр, диаметр, трехсторонние фигуры и так далее. Аристотель утверждает, что существование некоторых понятий и объектов очевидно: это «линия», «прямая линия» и «величина» в геометрии и «единица» в арифметике. Группа определений не всегда выделяется последовательно. Так, в определении диаметра мы читаем: «Эта прямая делит круг на две равные части», но это является ее свойством, которое необходимо доказать, а не определением.

Мы увидели, что определения не подразумевают факт существования определяемого объекта,— его надо установить. Для этого необходимо решить задачу вида «существует ли такой предмет, как...». В сочинении Евклида для построения геометрических объектов используются только прямые и окружности, других инструментов не дается. Следовательно, единственные существующие точки — те, которые возникают в местах пересечения этих линий.

После того как объект построен и задача решена, нужно убедиться, что он именно такой, как нужно, то есть построение соответствует характеристикам, данным в определении. Необходимо сформулировать теорему. Теоремы «устанавливают существование как данное»; они говорят «вот объект» и констатируют, что между различными утверждениями есть логическая связь.