Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Возьмем квадрат со стороной a + b и построим в нем четыре одинаковых прямоугольных треугольника, как показано в левой части представленного ниже чертежа. Теперь расположим те же треугольники по-другому, как показано в правой части. Площадь заштрихованных участков на обоих чертежах должна быть одинаковой, так как она в обоих случаях равна суммарной площади квадрата за вычетом площади четырех треугольников.

Следовательно, a ² + b ² = c ².

Если вы думаете, что автором доказательства теоремы Пифагора был ленивый кот Гарфилд [16] Герой одноименного комикса. , вы ошибаетесь. Это доказательство принадлежит двадцатому президенту Соединенных Штатов Джеймсу А. Гарфилду. Однако, если вы думаете, что между котом Гарфилдом и президентом Гарфилдом нет никакой связи, вы опять ошибаетесь! Создатель кота Гарфилда художник Джим Дэвис назвал его в честь своего дедушки, а дедушку назвали в честь президента Гарфилда.

Вот это доказательство. Посмотрите на трапецию, изображенную на следующем чертеже:

Площадь трапеции равна произведению ее высоты ( a + b ) на среднее арифметическое длин ее оснований

Вместе с тем трапеция состоит из трех треугольников – I, II и III, – а площадь каждого из треугольников I и II равна

Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180°, легко доказать, что треугольник III прямоугольный. Отсюда вытекает, что площадь треугольника III равна

Следовательно,

Раскрыв скобки в левой части и упростив, получаем в результате a ² + b ² = c ².

Ч. т. д.

Браво, двадцатый президент Соединенных Штатов!

На этот раз автором доказательства был не кто иной, как Леонардо да Винчи. Джорджо Вазари (1511–1574) пишет в «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» (1550), книге о великих художниках, что Леонардо изучал математику всего несколько месяцев, но и за такое короткое время сумел стать специалистом в этой области. Точно так же Леонардо не посвящал много времени изучению музыки, и тем не менее подобно Пифагору любил петь, аккомпанируя себе на лютне. Есть много других предметов, которыми Леонардо занимался лишь недолгое время и тем не менее освоил настолько, что научился применять их даже лучше, чем те, кто затратил на их изучение много времени и сил.

Уверен, что никто не удивится, если я скажу, что основную идею доказательства да Винчи легко можно понять из чертежа.

Как Леонардо да Винчи пришел к этому чертежу? Где именно таится в нем доказательство? Я дам вам время немного поупражнять мозг, размышляя над этой задачей.

В предыдущей главе, в которой мы познакомились с Пифагором, нам встретились треугольные числа, квадратные числа и даже пятиугольные числа. Однако мы совсем не говорили о числах прямоугольных. Почему же?

Эти числа не столь интересны потому, что встречаются они слишком часто. Любое число, которое делится без остатка на другое, меньшее, число, можно представить в виде прямоугольника. Вот, например, всего лишь два представления одного такого числа:

Гораздо интереснее искать числа, которые нельзя представить в виде прямоугольника; точнее говоря, числа, которые делятся только на единицу и само на себя. Например, число 17.

Не существует никакого способа составить из клеток прямоугольник, отличающийся от показанного ниже.