Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Но после этого мы получаем пример осуществления второго варианта:

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031 = 59 × 509.

Другими словами, (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 есть составное число, делящееся на простые числа 59 и 509, которые оба больше числа 13, которое временно выступало в роли «самого большого простого числа». Видим, что никакого противоречия в доказательстве Евклида нет – оно безупречно.

Интересно отметить, что довольно многим впервые столкнувшимся с доказательством Евклида кажется, что, если бы им его не показали, они вполне смогли бы открыть его самостоятельно. «Подумаешь, перемножить простые числа и прибавить единицу. Что тут сложного? Я бы и сам до этого додумался за пару минут, не больше!» В большинстве случаев это иллюзия. Простота этого доказательства лишь подчеркивает его красоту и гениальность.

Я встречал выдающихся математиков, убежденных, что предложенное Евклидом доказательство бесконечности простых чисел – одна из самых прекрасных теорем во всей истории математики. Будь и я выдающимся математиком, я бы тоже, несомненно, присоединил мой голос к их хору.

Тот факт, что количество простых чисел бесконечно, означает, что мы никогда не сможем составить полный список всех простых чисел. Всегда будет оставаться следующее простое число, большее, чем самое большое число в нашем списке.

Число, носящее почетный титул «самого большого простого числа, открытого до 2018 г.», равно 2 77 232 917 – 1 [17] В декабре 2018 г. было найдено еще большее простое число Мерсенна, равное 2 82 589 933 – 1. В десятичной записи оно содержит 24 862 068 цифр. К моменту выхода настоящего издания вполне могут устареть и эти сведения. . Я не советовал бы вам пытаться сосчитать это число и выписать его в тетради: в ней просто не хватит для этого страниц. Если учесть, что количество атомов во Вселенной меньше, чем 2 320, наверное, можно составить некоторое представление о том, насколько огромно число 2 77 232 917 – 1. В нем 23 249 425 знаков – почти на миллион (!) больше, чем в числе, которое считалось самым большим простым числом до него: то было открыто в январе 2016 г., и его значение – 2 74 207 281 – 1 (в этом числе «только лишь» 22 338 618 знаков). При этом число 2 320 всего-то 96-значное. Все относительно!

Кстати говоря, доказательство того, что это чудовищное число относится к простым числам, было получено не живым математиком из плоти и крови, а сетевым вычислительным проектом под названием GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search – «Великий интернет-поиск простых чисел Мерсенна»).

Что же такое «число Мерсенна»? Возможно, правильнее было бы спросить иначе: кто такой Мерсенн? Числа вида 2 n – 1 называют числами Мерсенна в честь французского философа, богослова, музыковеда и математика Марена Мерсенна (1588–1648). Если вам кажется, что перечень его титулов недостаточно впечатляющ, позвольте мне добавить еще один: Мерсенн был первым человеком, измерившим скорость звука.

Все ли числа Мерсенна простые? Вовсе нет.

Например, 2 4 – 1 = 15 – не простое число (15 = 3 × 5).

Те, кто еще не забыл уроки старших классов (или, скажем, все еще учится в школе), вероятно, знают, что число Мерсенна не относится к простым, если простым числом не является его степенной показатель. Дело в том, что в этом случае такое число всегда можно разложить на два сомножителя. Механизм, лежащий в основе этого правила, любезно вызвалось проиллюстрировать на собственном примере число 2 6 – 1:

2 6 – 1 = 2 2 × 3 – 1 = (2² – 1) (2 4 + 2 ² + 1) = 3 × 21 [18] Или, если использовать формулу разности квадратов, 2 3 × 2 – 1 = (2³ – 1) (2³ + 1) = 7 × 9. .

Другими словами, если степенной показатель – составное число, то соответствующее число Мерсенна всегда можно разложить на множители, что доказывает, что и оно будет числом составным. Для его разложения есть общая формула:

2 n · m – 1 = (2 n – 1) (1 + 2 n + 2² n + … + 2 ( m – 1) · n ).

Если эта формула не кажется вам особенно интересной, не беспокойтесь. Собственно говоря, сама формула не столь важна. Важен тот факт, что если в степенном показателе стоит не простое число, то и число Мерсенна с этим показателем не будет простым. Но если составной показатель гарантирует составное число Мерсенна, дальше, несомненно, естественно задать следующий вопрос: «Гарантирует ли простой показатель, что число Мерсенна будет простым?»

Попробуем проверить.

2² – 1, 2³ – 1, 2 5 – 1 и 2 7 – 1 – числа простые (соответственно 3, 7, 31 и 127). Пока что все хорошо. Сле- дующее простое число после 7 – это 11, но 2 11 – 1 – это не простое число: 2 11 – 1 = 2047 = 23 × 89.