Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Как ни печально, наличие простого числа в степенном показателе не гарантирует, что соответствующее число Мерсенна тоже будет простым числом. Будь это так, мы бы располагали простым способом находить все новые и новые простые числа. Например, можно было бы взять то колоссальное простое число, о котором мы говорили несколькими строчками выше, использовать его в качестве степенного показателя 2, вычесть единицу и получить новое – и еще более колоссальное – простое число. В его показателе стояло бы число, содержащее более 20 миллионов цифр. Подумайте только, каким ужасающе огромным было бы это число – оно выходило бы за пределы воображения простых смертных. Простое ли это число на самом деле? Я этого не знаю и не думаю, что когда-нибудь узнаю.

Мерсенн исследовал эти числа, носящие теперь его имя, в работе, опубликованной в 1644 г. Она вышла под величественным заголовком «Физико-математические размышления» (Cogitata Physico-Mathematica). Мерсенн проверил все простые степенные показатели до 257 и заключил, что числа вида 2 P – 1 должны быть простыми при P = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Правильный перечень немного отличается от этого и выглядит так: P = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127.

Судите сами, можно ли считать процент точных попаданий Мерсенна впечатляющим.

Помните совершенные числа, с которыми мы познакомились в разделе, посвященном Пифагору? Если вы уже забыли про них, напомню, что совершенным называется число, сумма собственных делителей которого равна самому числу. Еще Евклид знал, что, если 2 P – 1 – простое число, то его умножение на 2 P – 1всегда дает совершенное число. Разумеется, Евклид не называл такие числа числами Мерсенна. В его время не только еще не родился сам Мерсенн, но даже не познакомились родители прародителей его прародителей.

Приведем несколько примеров. 2³ – 1 – простое число (7); следовательно, (2³ – 1) × 2² = 28 – число совершенное. Аналогичным образом, 2 5 – 1 – простое число (31); следовательно, (2 5 – 1) × 2 4 = 496 – число совершенное. Воспользовавшись любезной помощью наибольшего из известных на сегодня простых чисел, мы теперь можем построить и самое большое из известных совершенных чисел: (2 77 232 917 – 1) × 2 77 232 916.

Я не советовал бы вам пытаться сосчитать это число и проверить справедливость этого утверждения. Могу вас заверить, что сумма всех делителей этого чудовищного числа действительно равна самому числу. Говоря словами великого немецкого философа Иммануила Канта, мне пришлось устранить знание, чтобы дать место вере.

Ну хорошо. Теперь настало время отвлечься от мировых рекордов и заняться разработкой некоторых из пресловутых умственных мускулов.

1). Докажите, что, если 2 P – 1 – простое число, то число (2 P – 1) × 2 P – 1должно быть совершенным.

2). 28 – треугольное число.

Являются ли все совершенные четные числа треугольными?

Знаменитый швейцарский математик Леонард Эйлер (с которым мы вскоре познакомимся) доказал, что верно и обратное. Другими словами, любое четное совершенное число имеет форму (2 P – 1) × 2 P – 1, где P и 2 P – 1 – простые числа. Попробуйте свои силы и докажите это утверждение – или же найдите доказательство Эйлера {14} 14 Подсказка: Найдите наибольшую степень 2, на которую делится ваше число. Ее и следует взять в качестве P – 1. .

Ну ладно, мы поняли, что простых чисел существует бесконечное количество. После этого логично было спросить, есть ли в их появлении какой-либо порядок. Существует ли формула, дающая только простые числа? Существует ли формула, дающая все простые числа? Как могла бы выглядеть формула количества простых чисел до некоторого числа n ?

Не успели мы расстаться с великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–1783), как снова встречаемся с ним.

В 1772 г. Эйлер выяснил, что выражение n ² + n + 41 (напомним, что любое выражение вида ax ² + bx + c называется квадратным многочленом) дает простые числа при условии, что n меньше 40. Например, для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 мы получаем, соответственно, следующие значения: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83. Отметим, что разности между этими значениями равны 2, 4, 6, 10, 12.