Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Теория:любое треугольное число от 3 и выше может быть выражено в виде суммы полного квадрата и двух треугольных чисел.

Доказательство:хватит и иллюстрации.

И действительно, 15 = 9 + 3 + 3 = 3² + 3 + 3.

Ч. т. д.

Маленькое примечание:эту же теорему, разумеется, можно доказать и обычным способом, но это доказательство немного сложнее и немного труднее для понимания. Иллюстрация гораздо нагляднее.

А как обстоит дело с суммой квадратов последовательных чисел?

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … =?

Те, кто по-настоящему любил в школе задачи на индукцию, возможно, даже помнят следующую формулу (символ · обозначает в ней операцию умножения):

Это равенство было известно уже китайскому математику Ян Хуэю, жившему в XIII в.

Какая логика лежит в его основе? Чтобы понять ее, нам придется обратиться за помощью к пифагорейцам. Я продемонстрирую концепцию для n = 4. Концепция для общего случая следует в точности тому же принципу.

Теперь осталось только собрать следующую фигуру:

и мы получим:

или

.

Если вам нравится заниматься математикой методом «камешков на пляже», вам, возможно, придется по вкусу и следующее интересное развлечение: найдите похожие формулы в своем учебнике по математике, соберите внушительную кучу камешков и отправляйтесь на пляж. Только не забудьте запастись кремом от загара – эти упражнения иногда занимают довольно много времени. Вместе с тем можно развлекаться и иначе: взять ту же кучу камешков и придумывать собственные формулы. Но кроме этого есть, конечно, и самое главное развлечение – пойти на пляж и не делать там ничего!

Без математики невозможно проникнуть вглубь философии. Без философии невозможно проникнуть вглубь математики. Без них обеих невозможно проникнуть вглубь чего бы то ни было.

Можно ли говорить о Пифагоре и не упомянуть о прославленной теореме, носящей его имя? Разумеется, нельзя. Поэтому я закончу эту главу несколькими историями о теореме Пифагора.

Итак, теорема гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Интересно отметить, что эту теорему знали еще древние египтяне, которые даже использовали пифагоровы треугольники со сторонами 3 – 4 – 5 для построения прямых углов.

Разумеется, всякий, кто учился в школе, способен дать формулировку этой знаменитой теоремы, но многие ли из вас действительно знают почему она справедлива и как ее доказать?

Рассказывают, что, когда философ Томас Гоббс (1588–1679) случайно увидел теорему Пифагора в книге «отца геометрии» Евклида, он был так поражен, что решительно отказался поверить, что это утверждение может быть истинным. В то время Гоббсу было около 40, и до этого момента он не особенно интересовался математикой. Гоббс прочитал доказательство (что совсем не мало для человека, не отличавшегося страстью к геометрическим фигурам) и влюбился в геометрию.

Что же – если Гоббс не желал поверить в истинность теоремы, мне не остается ничего другого, как доказать ее. Собственно говоря, ее доказательств существуют сотни, начиная с самого первого, так поразившего Гоббса в изложении Евклида, и до доказательств с использованием дифференциалов.

Я покажу вам три доказательства, которые мне особенно нравятся, но до этого хочу представить вам доказательство для случая равнобедренного прямоугольного треугольника. Это доказательство настолько просто, что для его изложения хватит и чертежа.

Это доказательство я выбрал потому, что оно – одно из самых простых.