Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Чаще всего начинают искать тройки множителей, произведение которых равно 252. Иначе говоря, выписывают наборы из трех цифр, дающие при перемножении 252. Это следует делать упорядоченно, начиная с цифр 1, 1, 252, за которыми следуют 1, 2, 126, затем 1, 3, 84, за ними 1, 4, 63 и т. д. Можно перебирать цифры таким образом до тех пор, пока не попадется хотя бы один набор, который даст нечетное трехзначное число. Не исключено, однако, что таких наборов несколько. Можно ли с уверенностью сказать, что найдены все возможные варианты? «Лобовой» подход не дает нам такой уверенности.

Попробуем применить нашу стратегию организации данных. Можно разложить число 252 на множители 2 × 2 × 3 × 3 × 7. Если одна из цифр 7, то другие цифры должны давать при перемножении 36, т. е. 4 и 9 или 6 и 6, поскольку все другие комбинации включают в себя множители, имеющие более одного знака. Комбинируя эти цифры с 7, мы находим пять чисел, которые удовлетворяют условиям задачи. Это 749, 479, 947, 497, 667 — все они нечетные трехзначные числа, а произведение их цифр равно 252.

Какое число в следующем ряду самое большое и какое число стоит на втором месте по величине?

В наши дни рука автоматически тянется к калькулятору. Однако найти ответ может быть не так просто, как кажется, поскольку не все калькуляторы могут извлекать такие корни.

Сначала для удобства представим члены заданного ряда в виде степеней с дробными показателями:

Эффективной стратегией здесь является организация данных так, чтобы было легко сравнивать.

У класса есть возможность принять участие в походе. Желающих оказалось пять человек, а свободных мест — всего три. В числе желающих — Аманда, Билл, Кэрол, Дэн и Эван. Учитель взял пять листочков бумаги, каждый с именем одного из желающих, положил их в шляпу и вытащил три листочка наугад. Какова вероятность того, что Аманда, Билл и Кэрол попадут в число участников похода?

Сначала определим, сколько вариантов выбора может существовать. Порядок не имеет значения, поэтому это комбинаторная задача. Из пяти листочков выбирают по три за раз:

Поскольку Аманда, Билл и Кэрол могут выпасть только один раз, ответ

Если вы не знакомы с комбинаторными вычислениями, то можете воспользоваться стратегией организации данных. Составим перечень всех возможных сочетаний имен в любом порядке:

Существует 10 возможных вариантов выбора трех человек. Только один из них, а именно ABC, удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, правильным ответом будет один из 10, или

Когда вопросы в задаче касаются определенной геометрической фигуры или рисунка, без слов понятно, что построение схем, или визуальное представление, является неотъемлемой частью метода решения. Это необходимо и помогает решить задачу. Довольно трудно представить, чтобы математики в далекие времена оперировали геометрическими понятиями без рисунков или хотя бы демонстрировали свои геометрические расчеты без использования чертежа. Вместе с тем есть множество задач, где условия не предполагают построения чертежа, однако визуализация того, о чем идет речь, намного облегчает поиск решения. Многие люди лучше воспринимают информацию визуально — чтобы понять происходящее, им нужна картина, а не просто слова. Это не домыслы. Визуализация — очень сильный метод, помогающий вникнуть в данную ситуацию.

Например, когда нужно объяснить, как найти чей-то дом, схема направления движения просто неоценима. Рисунок помогает увидеть маршрут в целом. В журналах и газетах постоянно используются графики и другие визуальные инструменты для сравнения или противопоставления ситуаций. Когда вы покупаете что-то и должны собрать это сами, в руководстве производителя помимо письменных инструкций обычно приводятся рисунки. В большинстве видов спорта, особенно в футболе и баскетболе, тренер объясняет стратегию игры, как правило, с помощью диаграмм, или рисунков с крестиками и ноликами. Все это примеры повседневного использования стратегии схематичного изображения, когда напрямую оно не требуется. В конце концов, не зря же говорят, что лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать.