Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Между двумя баскетбольными командами устраивают конкурс на лучшее исполнение штрафных бросков. В финал выходят Робби и Сэнди. Победителем становится тот, кто первым выполнит подряд два успешных штрафных броска или в целом три штрафных броска. Сколько комбинаций бросков может привести к победе?

Большинство начинает с попыток найти все возможные комбинации, которые могут привести к победе. Однако непонятно, как определить, все ли комбинации учтены. Это довольно проблематичная задача.

Воспользуемся стратегией организации данных и составим два исчерпывающих перечня путей достижения победы каждым игроком. Первый перечень показывает результаты, когда первый бросок делает Робби, второй — когда первый бросок делает Сэнди.

Существует 10 возможных комбинаций, на которых конкурс завершается. Исчерпывающий перечень комбинаций упорядоченно и наглядно представляет возможности.

Сколько треугольников изображено на рис. 7.1?

Как правило, люди начинают подсчитывать треугольники в том или ином порядке, но без определенной системы. Чаще всего это приводит к путанице и неуверенности в том, все ли треугольники учтены. Другой традиционный подход предполагает использование формальных методов подсчета. В этом случае определяются комбинации, которые могут быть образованы шестью линиями, и исключаются комбинации, образующиеся в результате совпадений. Количество комбинаций из шести линий по три равно 6 C 3 = 20 . Из этого результата нужно вычесть три совпадения (по вершинам). Таким образом, в фигуре на рисунке 17 треугольников.

Для упрощения задачи преобразуем фигуру, будем постепенно добавлять линии и считать, что получается в результате использования такой формы организации данных. Иначе говоря, мы будем подсчитывать треугольники, образующиеся при добавлении каждой части. Начнем с исходного треугольника ABC . Итак, в начале мы имеем всего один треугольник.

Теперь рассмотрим треугольник ABC с одной внутренней линией AD . У нас получилось два новых треугольника ABD и ADC .

Добавим еще одну внутреннюю линию BE и подсчитаем все новые треугольники, имеющие сторону BE .

Таким же образом добавим линию CF и опять подсчитаем новые треугольники, имеющие сторону CF .

Представим полученные результаты в табличной форме.

Общее количество перечисленных выше треугольников равно 17.

Дана последовательность Найдите положительное целое число n , при котором произведение первых n членов последовательности превышает 100 000.

В этом случае обычно прибегают к методу проб и ошибок и начинают добавлять члены в последовательность и перемножать их до тех пор, пока произведение не превысит 100 000. Такой подход трудоемок, и его точно нельзя назвать изящным.

Напишем сначала произведение первых n членов данной последовательности, что в определенном смысле будет организацией и представлением наших данных в более удобной форме:

«Превышает 100 000» означает, что нам нужно число, большее, чем 10 5, а это происходит, только когда или n ( n + 1) > 110. Когда n ≤ 10, мы получаем n ( n + 1) ≤ 110. Таким образом, наименьшее целое значение n , при котором выполняется условие задачи, равно 11.