Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Лучше, однако, взглянуть на задачу с другой точки зрения, начиная с исходной информации: уравнения Если взять обратные величины обеих сторон уравнения, мы получим уравнение вида которое намного легче поддается решению. Поскольку нужно найти значение x + 6, мы просто прибавим 1 к обеим частям этого уравнения и получим или Возьмем опять обратные величины обеих сторон уравнения и получим, что и требовалось найти. Это несомненно более изящный подход.

Дан круг и его диаметр; покажите, как разделить площадь на семь частей равной площади без использования прямых линий.

Обычно при виде такой задачи человек понимает, что циркуль — это то, что надо, и начинает чертить окружности внутри исходного круга в надежде обнаружить какую-либо закономерность. Чаще всего такое упражнение не дает ничего.

Возьмем наш круг и отложим от одного края диаметра отрезок, равный одной седьмой части его длины, как показано на рис. 6.2.

Площадь более светлой закрашенной области можно описать, как площадь половины исходного круга плюс площадь полукруга X минус площадь полукруга Y .

Известно, что отношение площадей кругов прямо пропорционально отношению квадратов их диаметров, поэтому площадь более светлой закрашенной области можно представить следующим образом:

Площадь ( X + Z ) = площадь ( Y + Z ) — площадь ( Y ).

Поскольку у трех полусфер отношение диаметров составляет ( Y + Z ):( Y ):( X ) = 7:6:1, отношение их площадей равно 49:36:1. Используя это, можно увидеть, что отношение площади более светлой закрашенной области к площади большого полукруга составляет (49–36 + 1):49 (или 14:49), иначе говоря, площадь более светлой закрашенной области равна площади большой полусферы. В этом случае отношение площади более светлой закрашенной области к площади целого круга равно Мы умножаем на потому, что представляет собой отношение к площади круга. Используя эту стратегию, мы можем рассмотреть полукруги с диаметрами AC, AD, AE, AF, AG и AH , которые делят площадь круга на семь частей равной площади.

Два поезда, один из Чикаго в Нью-Йорк, а другой из Нью-Йорка в Чикаго (расстояние 800 км) одновременно выходят навстречу друг другу по одной колее и идут с постоянной скоростью 60 и 40 км/ч соответственно. Перед одним из поездов летит пчела со скоростью 80 км/ч. После достижения идущего навстречу поезда пчела разворачивается и летит обратно (все с той же скоростью 80 км/ч). Пчела летает туда-обратно до тех пор, пока поезда не сталкиваются и не сплющивают ее в лепешку. Сколько километров пролетает пчела?

Эта задача может напомнить читателю известный пример, приводимый в большинстве учебников алгебры, однако в ней есть необычный момент, отсутствующий в подобных задачах на равномерное движение. Естественно, возникает желание определить отдельные расстояния, которые пролетала пчела. Первой реакцией является составление уравнения на основе знакомой формулы: «скорость, умноженная на время, дает расстояние». Однако определение этого пути туда-обратно довольно сложное дело и связано с большим объемом вычислений. В любом случае, решить задачу подобным образом очень сложно.