Альфред Позаментье: Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Воспользуемся стратегией обоснованного предположения и проверки. Очевидно, что нам понадобятся четыре одноцентовых монеты для получения сумм величиной до 4 центов. Добавив одну пятицентовую монету, мы можем получить любую сумму от 1 цента до 9 центов. Добавление 10-центовой монеты позволяет составить суммы величиной до 19 центов. Еще одна 10-центовая монета делает доступными суммы до 29 центов. Одна 25-центовая монета позволяет составить все суммы до 54 центов. Наконец, одна 50-центовая монета расширяет диапазон доступных сумм до $1. Нам необходимы девять монет следующих достоинств:

1 цент, 1 цент, 1 цент, 1 цент, 5 центов, 10 центов, 10 центов, 25 центов, 50 центов.

Для проверки полученного ответа можно выбрать наугад несколько сумм и попробовать составить их с помощью наших девяти монет. Например, чтобы составить сумму 73 цента, нам потребуются монеты 50 центов, 10 центов, 10 центов и три по 1 центу.

Древние египтяне были выдающимися математиками. Пирамиды и многие построенные ими храмы наглядно подтверждают это. Они одними из первых стали пользоваться дробями и представляли их в виде суммы долей единицы. (Доля единицы — это дробь, в числителе которой находится 1.) Так,

Как древние египтяне записали бы дробь?

Традиционно выписывают различные доли единицы, находят их общий знаменатель и суммируют, чтобы подобрать подходящий набор долей. Ответ практически невозможно получить, если действовать беспорядочно. Количество возможностей здесь почти бесконечно.

Простое тыканье наугад редко дает результат. Обоснованное предположение и проверку можно использовать организованно. Проанализируем приведенные выше примеры.

Прежде всего, обратите внимание на то, что все знаменатели долей единицы являются множителями исходного знаменателя. В первом случае знаменатели 2 и 3 являются множителями исходного знаменателя 6. Значит у искомых долей единицы в знаменателе должны стоять множители числа 28. Кроме того заметьте, что доли единицы идут в порядке убывания — впереди стоит наибольшая доля, за ней идет следующая по величине и т. д. Очевидно, что наибольшая доля единицы это Если в качестве возможных знаменателей использовать множители числа 28, то следующей величине долей единицы будет При сложении этих долей мы получим: Нам, однако, нужно еще чтобы получить в сумме Таким образом, искомая сумма единичных долей равна:

Использованный здесь метод подходит для дробей, знаменатель которых представляет собой составное число. Если знаменатель — простое число, то для решения задачи нужна другая процедура.