Альфред Позаментье: Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Если сделать рисунок, то мы получим два прямоугольника, как показано на рис. 9.2. Если размеры внутреннего прямоугольника x и y , то ширина внешнего равна x + 2, а длина — y + 2.

Естественная реакция — представить полученную информацию алгебраически в форме уравнения:

( x + 2) ( y + 2) = 2005.

Выполнив умножение и упростив это уравнение, мы получим:

xy + 2 y + 2 x + 4 = 2005;

xy + 2 y + 2 x = 2001.

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными, и нам нужно найти xy . Это тупик, а не решение.

Подойдем к имеющейся информации с другой стороны и рассмотрим все возможности. Количество плиток, 2005, можно разложить на множители только двумя путями: либо 1 × 2005, либо 5 × 401. Это дает два возможных размера искомого прямоугольника. Первую ситуацию можно отбросить, поскольку при ширине в одну плитку для белых плиток места нет. Следовательно, в игровой комнате должно быть 5 × 401 плиток. Поскольку снаружи выполнена «рамка» шириной в одну плитку, размеры внутреннего прямоугольника из белых плиток на две плитки меньше в каждом направлении. Если уменьшить каждое направление на две плитки, то количество белых плиток для внутреннего прямоугольника составит 3 × 399, или 1197. Таким образом, для покрытия пола было использовано 1197 белых плиток.

Даны целые числа от –100 до +100. Сколько таких чисел при возведении в квадрат имеют цифру 1 в разряде единиц?

Естественная реакция — начать с выписывания всех целых чисел от 1 до 100. Затем их по очереди возводят в квадрат и подсчитывают те, у которых в конце стоит 1. Результат после этого удваивают, чтобы учесть числа от –1 до –100.

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Единственными числами, квадраты которых могут иметь цифру 1 в разряде единиц, являются те, что оканчиваются на 1 или 9. Таким образом, существует всего 20 возможностей, а именно 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 и 99. Удвоив это количество, чтобы учесть все возможности в отрицательном диапазоне, мы получаем ответ — 40 целых чисел.

На рис. 9.3 показаны три грани куба. Если продолжить нумерацию на остальных гранях куба, то чему будет равна сумма номеров всех шести граней?

Большинство людей замечают, что числа на гранях куба начинаются с 48 и 49. Чаще всего они просто продолжают числовой ряд и получают следующие номера на гранях: 48, 49, 50, 51, 52, 53. Поскольку номер третьей грани, а именно 52, присутствует в этой последовательности, некоторые останавливаются и дают в качестве ответа сумму перечисленных номеров — 303.

Вместе с тем в приведенном выше решении учтены не все возможности. Мы видим три грани из шести. Поскольку нам видны номера 48, 49 и 52, значит обязательно должны быть 50 и 51. Шестой номер, однако, может находиться на любом конце последовательности. Таким образом, существуют два варианта шестого номера — 47 или 53. Это дает две возможные суммы — 297 и 303.

Конечно, даже мысль о том, что в качестве стратегии решения задач можно использовать догадки, вызывает недоумение. В самом деле, может ли кто из нас вспомнить, чтобы учитель говорил кому-то, давшему нестандартный ответ: «Ты это знаешь или просто строишь догадки ?» В некоторых книгах выдвижение предположений и их проверку называют методом «проб и ошибок», и это воспринимается более негативно. Добавление определения обоснованное в название метода должно успокоить вас и уверить в том, что это действительно эффективная и нередко очень полезная стратегия.

Мы пользуемся стратегией «предположение-и-проверка» на протяжении всей своей жизни. Например, на кухне мы делаем предположение о том, готово ли мясо в духовке, а потом с помощью специального термометра проверяем, правильно ли оно. Если нет, то мясо опять отправляется в духовку, а процесс «предположение-проверка» повторяется через некоторое время. Пытаясь найти конкретное место во время поездки на автомобиле, мы «предполагаем», что оно находится на определенной улице. Если его там нет, то мы делаем другое предположение на основе информации, полученной в результате первой попытки.