Альфред Позаментье: Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

1 и 6;

2 и 5;

3 и 4.

Известно, что у трех соседних граней должна быть общая вершина. Всего вершин у кубика восемь, поэтому наборов из трех соседних граней тоже должно быть восемь. Посмотрим, разные у них суммы точек или нет. Для этого перечислим все возможные сочетания по три, выбирая одно число на описанных выше трех парах противоположных граней, а потом определим их суммы. Чтобы не пропустить ни одной возможности, выбор будем проводить упорядоченно:

Существует восемь разных сумм, как и следовало ожидать при восьми вершинах.

Во время последней переписи населения респондент сказал переписчику, что у него трое детей. Когда его спросили об их возрасте, он ответил, что не может сказать этого, но произведение их возрастов равно 72, а сумма такая же, как номер нашего дома. Переписчик выбежал на улицу, посмотрел номер дома и сказал, что все равно не понимает. Тогда респондент добавил: «Ах да, я забыл сказать, что мой старшенький любит блинчики с черникой». После этого переписчик быстро заполнил графу возраста. Сколько лет детям респондента? (Рассматривайте только целые числа.)

Самый распространенный подход — попытаться составить ряд уравнений. Если обозначить возраст трех детей, как x, y и z , то мы получаем:

Здесь мы заходим в тупик: у нас система из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Такую задачу, похоже, невозможно решить. Можно, конечно, попробовать угадать, но на это потребуется уйма времени.

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Поскольку произведение возрастов равно 72, начнем с перечисления всех троек чисел, которые при перемножении дают 72. Не будем забывать также об аккуратной организации данных, чтобы не упустить какую-нибудь возможность.

Это полный список триад чисел, произведение которых равно 72. Где-то в нем прячется ответ. Мы также знаем, что сумма возрастов равна номеру дома:

Переписчик видел номер дома, однако все равно не мог определить возраст детей. Почему? Если, например, номер дома равен, скажем, 18, то возраст становится очевидным — 1, 8 и 9. Однако невозможность определить правильную тройку чисел предположительно связана с тем, что есть две тройки чисел, дающие в сумме 14. Иначе говоря, у дома должен быть номер 14. Вместе с тем, как только респондент произнес слова «мой старшенький любит блинчики с черникой», переписчик понял, что один ребенок должен быть старшим . В этом случае возраст детей равен 3, 3 и 8, поскольку в тройке 2, 6 и 6 нет единственного старшего.

Обратите внимание на то, что блинчики с черникой на деле всего лишь отвлекающие слова. Ключом к решению задачи является слово «старшенький».

Сколько общих для двух окружностей касательных можно провести на рис. 9.1?

Можно попробовать построить общие касательные и сосчитать их, однако нет никакой гарантии, что это будут все касательные, поскольку рисунок довольно обманчив.

Чтобы организованно подойти к решению этой задачи, нужно брать по две окружности за раз и учитывать все возможности.

Окружности A и B: 2 внешних касательных + 1 внутренняя;

Окружности A и C: 2 внешних касательных + 2 внутренних;

Окружности B и C: 2 внешних касательных.

Таким образом, суммарное количество общих касательных равно девяти. Задача легко решается путем учета всех возможностей.

Мария помогает отцу укладывать плитку на пол прямоугольной комнаты для игр. Всего у них ушло ровно 2005 квадратных плиток двух цветов — черного и белого. Периметр в одну плитку шириной был полностью черным. Остальная плитка имела белый цвет. Сколько белых плиток потребовалось, чтобы покрыть пол?